考研高等数学中线性代数试题分析

摘 要：本文对于线性代数的内容和题型，对其难度系数进行了打分；通过对难度系数的剖析，说明了在考研高等数学中线性代数部分的解答题（22分）常考的范围，便于考生复习时能够抓住重点，对于考研的同学有一定的指导作用。

关键词：线性代数 研究生考试 高等数学

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）09（a）-0109-04

在考研的高等数学中，满分是150分，线性代数的内容，34分，占大约22%其中选择题8分（两小题），填空题4分（一小题），解答题22分（两大题）；本文对于线性代数的内容，根据公式（或概念）的难度，将其难度划分为若干等级，进行打分；对于题型，根据解题时所用的知识点的多少，也将其难度划分为若干等级，进行打分。然后，根据这两个等级，将难度系数进行综合打分。最后，通过对难度系数的剖析，说明了在考研高等数学中线性代数部分的解答题（22分）常考的范围，便于考生复习时能够抓住重点。下面对所给的方法具体解释如下：

对于公式，根据其难度，分为三个等级，其难度系数分布赋予值1、1.5、2。比如，低阶（四阶以下）行列式，其计算公式很简单，难度系数定义为1；再比如，矩阵A与伴随矩阵的关系公式，比较复杂，难度系数定义为1.5。至于用施密特（Schmidt）方法求线性无关向量组的正交向量组，其公式内容较多，且涉及到内积的计算，故难度系数规定为2。

对于有关概念，也根据其难度，分为三个等级，其难度系数也分布赋予值1、1.5、2。比如：对称矩阵的概念，比较简单，难度系数定义为1；再比如，矩阵的特征值和特征向量的概念，涉及到等式，难度系数规定为1.5；至于非齐次线性方程组通解的概念，涉及到一个特解和的通解，而后者又涉及到的基础解系的概念，比较难理解，故难度系数规定为2。

对于题型，根据其解题时所用到的知识点的多少，对其难度进行打分。所用的知识点多，难度系数就高，所用的知识点少，难度系数就低。比如：用初等变换求矩阵A的秩，通过简单的运算，将矩阵化A为阶梯型就可以了，难度系数定义为1；再比如：求齐次线性方程组的解，先用初等变换将系数矩阵A化为阶梯型，据此确定自由变量和基础解系，进而可写出齐次线性方程组的通解。故难度系数定义为3。有时还需讨论是否有非零解，因此，难度系数定义为≥3.

对于所用的知识点，也根据知识的难易和运算量进行打分，比如：对于一般的行列式的计算，难度系数规定为1；对于行列式的计算且需要讨论的，难度系数规定为1.5；对于在一个题目中，多次计算行列式的，比如：用克莱姆（Cramer）法则解线性方程组，多次计算行列式，其难度系数也定义为1.5.

下面我们将线性代数的主要内容和题型，对其综合难度系数进行了如下分析：（见表1）。

近年来，研究生考试中，解答题22分（两大题），基本上是考察学生综合运用知识的能力。接下来针对近年来的试题作具体的分析，下面的1～14题，见文献[1]。

（1）2007年数学一、三（21），11分。设线性方程组：

（1）

与方程 （2）

有公共解，求的值及所有公共解。

难度分析：方程组（1）、（2）有公共解，即由方程组（1）、（2）组成的方程组有解，本题归结为解非齐次线性方程组（含参数）的解。综合难度系数为≥5。题型特点：解含参数的方程组。

（2）2007年数学一、三（22），11分。

设3阶实对称矩阵A的特征值是A的属于的一个特征向量。记，其中E为3阶单位矩阵。

①验证是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。

②求矩阵B。

难度分析：验证是B矩阵的特征向量，难度系数为1；易见矩阵B为实对称矩阵，那么已知部分特征值和特征向量，求该矩阵的全部特征值和特征向量，难度系数为4.5；综合难度系数为5.5.题型特点：求矩阵的特征值与特征向量。

（3）2008年数学一、三（20），11分。

设矩阵，现矩阵A满足方程工，其中，.

①求证.

②为何值，方程组有唯一解。

③为何值，方程组有无穷多解。

难度分析：求n阶行列式的值，难度系数2；用克莱姆法则判别方程组有唯一解，难度系数为1；求线性方程组的通解，难度系数为5。故本题综合难度系数为8。

题型特点：n阶行列式的计算，解含参数的方程组。

（4）2008年数学一、三（21）（本题满分11分）。

设A为3阶矩阵，为的分别属于特征值-1，1特征向量，向量满足，

证明：①线性无关。

②令，求.

难度分析：线性无关的判别，难度系数为3.5；应用公式，难度系数为1，综合难度系数为4.5.题型特点：

判断方程只有零解，归结为解方程组。

（5）2009年数学三（20）（本题满分11分）。

设

①求满足的所有向量；

②对①中的任一向量，证明：线性无关。

难度分析：求两个求非齐次线性方程组的通解，难度系数为4.5；证明线性无关，难度系数为3.5，综合难度系数为8。题型特点：解方程组。

（6）2009年数学一、三（21）（本题满分11分）。

设二次型

（1）求二次型的矩阵的所有特征值；

（2）若二次型的规范形为，求的值。

难度分析：写出二次型的矩阵A（含有未知参数），难度系数为1；求矩阵A的特征值，难度系数为2；已知二次型的规范形和特征值，反过来求未知参数，其难度系数为1；综合难度系数为4。题型特点：求矩阵的特征值，求矩阵中的未知参数，解方程。

（7）2010年数学一、三（20），11分）。

设，。已知线性方程组存在两个不同的解，

①求；

②求方程组的通解。

难度分析：已知线性方程组的部分解，反过来求未知参数，难度系数为3.5；再求方程组的通解，难度系数为3。综合难度系数为6.5。题型特点：求矩阵和向量中的未知参数，解方程组。

（8）2010年数学一、三（21），11分。

设，正交矩阵使得为对角矩阵。若的第一列为，求。

难度分析：由，可得，由此可知：是A的一个特征向量，难度系数为1；已知矩阵的特征值和特征向量，反过来求未知参数，难度系数为2；再求正交矩阵，使得可以对角化，难度系数为2；综合难度系数为5。题型特点：求矩阵中的未知参数，解方程。

（9）2011年数学一、三（20），11分。不能由线性表出。

①求。

②将由线性表出。

难度分析：由题设可推得线性相关，难度系数为1；进而，可求得的值；难度系数为1；将一组向量由另一组向量线性表示，难度系数为3；综合难度系数为5。题型特点：求向量中的未知参数。

（10）2011年数学三（21），11分。A为三阶实对称矩阵，

且.

①求A的特征值和特征向量。

②求A.

难度分析：求A的特征值和特征向量，难度系数为4.5；矩阵的对角化问题，利用，可求得A，难度系数为1。综合难度系数为5.5.题型特点：求矩阵的特征值和特征向量。

（11）2012年数学三（20），11分。

设

①计算行列式.

②当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。

难度分析：求含参数的低阶行列式，难度系数为1；对的值（含参数）进行讨论，判别方程组是否有解，难度系数为1；在有解的情况下，求方程组的通解，难度系数为3.综合难度系数为5.题型特点：求矩阵中的未知参数，解方程组。

（12）2012年数学三（21），11分。

已知，

二次型的秩为2，

①求实数的值。

②求正交变换，将化为标准型。

难度分析：已知二次型的矩阵（含参数）和一些条件，反过来求未知参数，难度系数为1；已知二次型矩阵，求正交变换，将其化为标准型，难度系数为4.综合难度系数为5。题型特点：求矩阵中的未知参数。

（13）2013年数学三（20），11分。

设，.当为何值时，存在矩阵，使得，并求所有矩阵.

难度分析：设，难度系数为1；由矩阵方程，得到方程组，难度系数为1；由题设通解求，难度系数为1；求方程组的通解，难度系数为2；综合难度系数为5。题型特点：求矩阵中的未知参数。

（14）2013年数学三（21），11分。

设二次型

。

记，。

①证明二次型对应的矩阵为.

②若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准型为.

难度分析：求二次型的矩阵A，难度系数为2；A=，由此可求出A的两个特征根，难度系数为1.5.再求出A的一个特征根，难度系数为1。综合难度系数为4.5.题型特点：对称矩阵的对角化。

从上面的分析可见，解答题的试题，主要有两个方面的特征：一是题型特征；二是难度综合系数特征。其题型特征主要集中在三个方面：

第一，求未知参数和解方程组。这个未知参数可能出现在行列式中，也可能出现在向量中，也可能出现在矩阵中。而解未知参数，必须要列方程（组）。然后来解方程组。因此，解方程组是重点。

第二，求矩阵的特征值和特征向量。

第三，矩阵的对角化。这包括一般矩阵的对角化和对称矩阵的对角化。

因此，同学们在考研复习时，要重点复习上面的三种题型。

其综合难度系数的特征是：解答题的试题都是出现在综合难度难度系数≥3.5的部分。因此，同学们在考研复习时，要重点复习难度系数表中综合难度系数的≥3.5内容。至于填空题和选择题，主要考察同学们对基本概念的理解以及一定的综合运算能力，只要按照大纲给定的内容认真进行复习就可以了。

参考文献

[1] 2009―2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题[EB/OL].中国教育在线，Http：//.