变分法在量子力学中的应用研究

摘 要 在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。通过变分法，可以实现泛函临界点对应。变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。

关键词 变分法；量子力学；最优控制

中图分类号：G712 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2014）02-0122-03

20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。

针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。

1 变分法概述

变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。变分法应用的最终目的在于找出更好的极值函数，通过变分法，获得泛函最大值或最小值。欧拉-拉格朗日方程式属于变分法最重要定理。通过变分法，可以获得相应泛函临界点，在处理量子力学及其他物理问题时应用优势十分明显。

在解决量子力学问题时，解决微扰问题最为广泛的方法是应用微扰法及变分法。如应用微扰法进行量子力学问题的解决，其条件则为体系的哈密顿算符。可以分为及两个部分，则有：

= +

在微扰法中，本征函数及本征值属于已知，则很小，如在解决问题时其满足微扰法求解问题的基本条件，则可以实现量子问题求解。然而在实际应用中，进行全体必要的矩阵元求和计算是十分困难的，其解决问题存在着一定的局限性。应用变分法则不会受到条件限制。如将体系哈密顿算符本征值由小到大进行排列，其顺序如下：

E0，E1，E2，…En，… （1）

计算这些本征值对应本征函数，则有：

Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… （2）

在公式中，E0代表的是基态能量，Ψ0代表的是基态波函数。为便于研究，假设与本征值En是保持对立的，本征函数Ψn组成正交归一系，则有：

Ψn=En+Ψn （3）

在公式中，设Ψ属于任意归一化波函数，将公式展开后获得：

（4）

在进行Ψ状态描述时，其体系能量平均值则为：

（5）

通过公式整理，则可以获得：

（6）

因E0代表的是基态能量，为此，则有E0

（7）

=E0属于Ψ归一条件，则有：

（8）

公式（8）不等式说明，在进行任意波函数Ψ求解时所获得的平均值总是较之基态能量较大，在进行Ψ平均值求解时，其中最小平均值与E0最接近。当Ψ作为体系中Ψ0基态波函数时，此时基态能量E0则与平均值保持一致。由此，实现变分法基态能量及基态波函数体系求解。

2 量子力学变分原理

如下，为某个微观体系薛定谔方程：

（9）

该薛定谔方程为变分问题欧拉微分方程，其变分问题求解则是对其能量积分进行求解，则有：

（10）

能量积分极小值为：

（11）

将体系哈密顿量设为H，则有：

（12）

在满足归一化条件的基础上，进行公式整理，则有：

（13）

实践证明，经过欧拉微积方程整理，可以获得薛定谔方程，证明微观体系薛定谔方程是可以让能量积分获得极值时的欧拉微分方程。以上公式，则为量子力学中变分原理。

3 变分法在量子力学中的应用案例

在量子物理或经典物理中，一维谐振子与很多物理现象存在较大关系，甚至可以将任何体系在稳定平衡点位置所进行的运动看作一种近似一维谐振子，如核振动、晶体结构离子及中原子振动等。本文在分析量子力学变分原理的基础上，进行一维谐振子研究。将谐振子质量设为m，并沿x轴进行直线运动，则谐振子所受到势能为，可以通过以下公式进行哈密顿量表示：

（14）

体系试探波函数为，按照归一化条件，可以获得。则有：

（15）

通过公式调整，可以获得以积分公式：

（16）

通过计算后获得：

（17）

并获得体系最低能量值为：

（18）

相应函数简化后为：

（19）

通过检验后发现，这种计算结果与求解结果相同，证明所选取的变分函数良好。图1为典型a下线性谐振子波函数及位置几率密度分布图。

波函数能够满足高斯型分布，在x=0位置，存在明显峰值，随着a逐渐降低，其峰值降低，且峰宽度逐渐增加。从图1中可以看出，波函数几率密度分布状况与波函数、分布曲线形状基本保持一致。应用变分法所求解出的波函数几率分布存在一定差异。由此可以看出，应用变分法解决量子力学问题时，虽然其可以简单方便地进行体系基态性质求解，但其属于解决问题的近似方法，其近似程度随着参数变化发生变化。只有保证所选择的波函数满足边界条件及归一化条件，参数越多时，其结果越好。

变分法其应用的优点在于其求解过程并不受到什么限制，但其结果好坏完全是由尝试波函数选择来确定。为此，在应用结构变分法解决物理量子力学问题时，应保证变分法所选择的尝试波函数的合理性及科学性。

4 结语

当前，微扰法及变分法是处理物理量子力学问题常见的方法。微扰法求解存在一定局限性，变分法求解并不受到任何限制，变分法属于处理函数的一种方式，与处理数的函数的普通微积分保持着相对立关系。应用变分法，可以实现泛函临界点对应。变分法在解决物理问题中发挥着十分重要的作用，尤其是在量子力学领域。本文在概述变分法的基础上，对量子力学变分原理进行分析，并通过一维谐振子对变分法在量子力学中的应用进行分析。通过实践证明，变分法在处理量子力学问题方面具有较大优势，保证尝试波函数选择合理性，是实现变分法效果的关键。

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