变分法原理在桥梁结构计算中的应用研究

摘要：本文介绍了变分法的基本概念，并对其在桥梁结构计算中的应用，包括内力变形，剪力滞效应，温度效应，无缝钢轨的铺装，以及动力特性等方面进行了分析,研究表明，变分法原理对于桥梁结构的计算至关重要。

关键词：变分法；桥梁结构；计算；应用

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Abstract：This article describes the basic concepts of variation principle, and analysis the research to bridge structure calculation, Including deformation and force of the bridge, shear lag effect, temperature effect, seamless rail pavement, and power characteristics etc, studies have shown that variation principle is essential in bridge structure calculation.

Key words: variation principle; bridge structure; calculation;

在桥梁的计算分析中，都会遇到对结构进行静力分析、动力分析和稳定分析的问题, 解决这些问题广泛地运用到了变分法等数学知识，变分法为结构计算中的微分方程的近似求解提供了重要手段。

1．变分法的预备定理

如果函数F（x）线段（x1，x2）上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数δy(x)，有

则在线段（x1，x2）上，有F（x）=0。δy(x)的一般条件为：（1）一阶或若干阶可微分；（2）在线段（x1，x2）的端点处为0；（3）|δy(x)|＜ε，或|δy(x)|及|δ’y(x)| ＜ε等。

2．变分原理在工程中的应用

在工程技术和科学计算领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们均可以给出它们的数学模型，即应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件。对于大多数问题，由于方程的非线性性质，或由于求解域的几何形状比较复杂，则只能依靠数值方法得出域中未知量在某些离散点处的近似值。

目前，数值分析方法已成为求解科学技术问题的有力工具。已经发展的常（偏）微分方程数值分析方法可以分为两大类。一类以上述有限差分法为代表，另一类则为有限元法。

3．变分法原理在桥梁结构计算中的应用

随着我国公路交通事业的蓬勃发展，桥梁建设已进入高峰期。桥梁结构的安全直接关系到国民经济的建设与发展，其内力计算的准确与否将直接关系到整个桥梁结构的安全。

3.1 应用余能原理计算桥梁结构的内力和变形

（1）基本方程

平衡条件 在内（1）

在上 （2）

几何条件在内（3）

在上 （4）

本构方程 在内

或在内（5）

式中：――应力；

――应变；

――位移；

――刚度系数；

――柔度系数；

――体积力；

――表面力；

――表面方向余弦。

（2）余能原理的推导

将式(3)、(4)乘上相应的虚应力，然后积分并代数相加，可得（6）

（7）

将式(7)代入式(6)，得

（8）

考虑到式(1)、(2)的变分式，及体力和表面力为伴生力，则式(8)变换为

（9）

这就是非保守系统的余虚功原理的表达式。当和表面力为确定函数时，式(9)退化为保守系统的余虚功原理。

（3）推导余能原理的驻值条件

采用Lagrange乘子法进行推导。

余能原理的表达式为

（10）

式中

其先决条件为(1)、(2)式。将(10)写成展开形式，可得

(11)

其先决条件的变分式为

在中(12)

在上（13）

引入Lagrange乘子和，将(12)和(13)纳入泛函(11)中，可得

（14）

应用Green定理

（15）

将(15)式代入(14)式，整理可得

（16）

由于的任意性，由(16)式可得

（17）

可知，

将，的表达式代入(16)式，可得

(18)

由(18)式可得余能原理的驻值条件为

3.2 利用差分解法分析变截面连续梁的动力特性

使用连续梁可以减小梁的弯曲变形和应力，因此在桥梁结构中得到广泛的应用。但是对于变截面连续梁的计算，能够检索到的文献不多。变截面梁的控制微分方程是变系数的，除少数特殊情形之外得不到函数式解答，而只能寻求数值解法，有限元、有限差分法和有限体积法是最重要的常用方法。

针对变截面连续梁在公路、铁路桥梁中广泛使用的情况，为解决变截面连续梁的变系数控制微分方程无法得到解析解这一困难，有学者提出了运用有限差分方法解此问题的方法。结果表明，差分方解法解决连续梁的振动问题非常有效，应用步骤简洁、固定。按照此思路编制计算机专用程序能对任意多跨变截面梁进行动力分析，可适用于变截面梁桥梁结构。

3.3 利用能量变分法分析薄壁箱形梁桥剪力滞效应

薄壁箱形梁桥的剪力滞效应是设计中一项不容忽视的指标。剪力滞效应常用的计算方法有比拟杆法、弹性理论解法、数值分析法。

相关学者采用三个独立的广义位移w(x) 、U(x) 、θ(x)对宽翼缘薄壁梁的剪滞效应进行变分法分析，根据最小势能原理，建立了关于w(x)、U(x)、θ(x)的基本微分方程及相应的边界条件。取w(x) 、U(x) 、θ(x)作为三个独立的广义位移，对宽翼缘薄壁梁的剪滞效应进行了变分法分析，可得出如下结论：

(1) 宽翼缘薄壁梁的剪力滞后效应与剪切效应彼此独立，计入剪切效应并不影响关于U(x) 的基本微分方程及边界条件，即剪切效应并不影响剪滞系数。

(2) 在体系总势能计算中考虑剪切变性能，可使宽翼缘薄壁梁挠度计算精度大大提高。

(3) 集中荷载作用下简支梁和悬臂梁的计算结果表明，考虑剪切效应得到的附加挠度修正值比剪滞效应的挠度修正值还大，为提高挠度计算精度，应同时考虑这两项修正。

3.4 利用变分法分析混凝土薄壁箱梁的温度效应

箱梁的温度应力计算应有别于T梁, 其主要原因在于在温度作用下箱梁顶板的横向效应不容忽视。在现阶段比较通用的桥梁分析程序中, 温度应力的计算一般采用的是现行公桥规附录B给出的方法，没有考虑箱梁横向效应。

相关分析结果表明，箱梁在梯度温度作用下，按常规方法计算出的纵向拉应力要小于采用本文方法的计算结果，两者相差最大可达28.2%，且在顶板下缘其横向拉应力与纵向拉应力相当，因此在设计中不考虑其横向效应是偏于不安全的。相关学者采用能量变分法原理对等截面矩形简支、悬臂箱梁的温度应力进行了详细的分析和理论推导,得出以下初步结论:在温度作用下, 采用不考虑横向效应的常规方法, 其纵向拉应力计算结果在某些部位不仅偏于不安全, 而且不能计算出箱梁的横向应力, 从分析结果来看, 在顶板下缘其横向拉应力与纵向拉应力相当, 因此在设计中应充分重视箱梁在温度作用下的横向效应。

3.5 变分法在无缝钢轨交通铺设中的应用

关于桥上无缝线路纵向阻力r(z) 的表达式, 我国铁路轨道设计规范取用常量。但在研究中、小跨度桥上伸缩力及挠曲力的行为机制时, 宜采用r(z)的非线性函数，即r(z)=a-bz+cz，相应给附加力的计算带来了许多困难, 其计算方法也各不相同。

在桥上无缝线路附加力的分析中, 纵向附加力经轨枕、道床传给桥梁结构, 线路阻力存在明显的非线性, 若按线性处理肯定会引起较大的误差, 尤其是当梁轨位移较大时表现得更为突出, 因此要建立梁轨间的相互作用的非线性计算模型。相关学者采取了先假设钢轨纵向力的分段函数, 再根据梁、轨相互作用原理, 结合轨道结构的边界及变形协调条件，运用广义变分原理，编制了相应的软件程序，对桥上无缝线路伸缩附加力进行了计算, 并在此基础上进行了对比分析, 其计算结果符合工程实际，拓展了桥上无缝线路附加力分析的领域, 有利于桥上无缝线路附加力分析的实际应用。

4.结语

在桥梁结构计算中, 变分法原理已成为结构分析的一种重要手段。研究表明，合理的掌握变分法原理，可以更好的对结构进行计算分析，因此，变分法原理在桥梁结构的计算的计算中占有极其重要的地位。

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[作者简介]王银，（1985~），男，汉族，重庆人，本科，主要从事市政工程设计工作。