时间：2022-09-17 01:45:10
笔者在研究2012年高考福建卷理科第19题时，发现其结论具有一般性，于是着手进行推广，得到圆锥曲线切线的一个漂亮性质，与大家分享．
试题 如图1，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，
右焦点为F2，离心率e=12，过F1的直线交椭圆
于A、B两点，且ABF2的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案 （1）椭圆E的方程是x24+y23=1；
（2）存在定点M（1，0）满足题意．
该试题第（2）问的结论，对于椭圆都成立，于是得到如下性质：
性质1 如图2，设P（x0，y0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的任意一点，直线l是过点P的椭圆的切线，若直线l交椭圆的右准线x=a2c于点Q，则以PQ为直径的圆恒过椭圆的右焦点F（c，0）．
证明 由x2a2+y2b2=1得2xa2+2yy′b2=0，所以
y′=-b2xa2y．
所以过点P（x0，y0）的椭圆的切线l的方程为：
y-y0=-b2x0a2y0（x-x0）（y0≠0），
即x0xa2+y0yb2=1．
由x0xa2+y0yb2=1，
x=a2c， 解得y=b2y0（1-x0c）， 所以Q（a2c，b2y0（1-x0c））．
又F（c，0），故FP=（x0-c，y0），
FQ=（a2c-c，b2y0（1-x0c）），
所以FP·FQ=（x0-c）（a2c-c）+y0·b2y0（1-x0c）=b2x0c-b2+b2-b2x0c=0．
所以FPFQ，由点P的任意性知：以PQ为直径的圆恒过椭圆的右焦点F（c，0）．
注 若椭圆的切线l交椭圆的左准线x=-a2c于点Q，则以PQ为直径的圆恒过椭圆的左焦点F（-c，0）．
该性质可以类比到双曲线，于是得到：
性质2 如图3，设P（x0，y0）是双曲线
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的任意一点，
直线l是过点P的双曲线的切线，若
直线l交双曲线的右准线x=a2c于点Q，
则以PQ为直径的圆恒过双曲线的右焦点F（c，0）．
注 若双曲线的切线l交双曲线的左准线x=-a2c于点Q，则以PQ为直径的圆恒过双曲线的左焦点F（-c，0）．
证明仿照性质1，此处略．
其实，椭圆、双曲线的上述性质对抛物线也是成立的．
性质3 如图4，设P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p>0）上的任意一点，直线l是过点P的抛物线的切线，若直线l交抛物线的准线x=-p2于点Q，则以PQ为直径的圆恒过抛物线的焦点F（p2，0）．
综合性质1，2，3，可得：
圆锥曲线统一性质 设点P是圆锥曲线C上的任意的一点，直线l是过点P的圆锥曲线C的切线，若直线l交圆锥曲线C的准线于点Q，则以PQ为直径的圆恒过圆锥曲线C的与该准线对应的焦点F．