基于区分的试题评析

高考作为高校选拔新生的大规模考试.其试卷的信度、效度，尤其是区分度备受关注.注意到《课标》所提出高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展和社会进步的需求.可以认为，关注“数学本质与应用”、“强调能力立意”、“数学发现与探究”是提高试卷区分功能的有效途径.

1 基于区分的数学本质与应用考查

试卷立足数学学科本质，从数学各分支的核心内容、学科思想及教育价值入手设置试题，合理地区分考生的数学素养以及是否具备进一步学习所必须的数学知识做准备.

试卷中多题设计到实际问题，凸显数学与实际的联系，检测考生是否能学以致用.

例1 （理7）若函数则下列结论错误的是

D x

评析 本题选择狄利克雷函数，并不是常见的函数，考生对它的了解甚少.求解本题的关键在于考生是否能够自主的捕捉、理解信息，进而合理运用

相关知识考查了考生对函数本质及函数相关性质的掌握程度.

例2 （理1 6 ）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取5 0辆，统计数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；

（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 ，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 ，分别求X1 ，X2的分布列；

（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由.

评析 本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，同时以现实生活中的实际问题为载体，设置应用性问题，较好地考查考生将实际问题转化为数学问题的抽象概括能力、数据处理能力及应用意识.

2 基于区分的强调能力立意考查

坚持能力立意，关注对数学思想方法的考查.高考数学学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，因此命题时应尽量避免编制繁琐计算的试题，力图通过数学学科的考试，测试出考生将知识迁移到不同情境的能力，从而区分考生已有的和潜在的学习能力.命题应突出能力立意，对知识的考查侧重于理解和应用，要求考生抓住问题的实质，对试题提供的信息进行合理地分检、组合、加工，寻找解决问题的办法.

例3 （文1 8 ）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： a= y− b x ；

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入－成本）

评析 本题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，检测考生运算求解能力、应用意识，考查回归与转化思想、特殊与一般思想.而且有引导中学数学教学回归教材，关注对教材的研究与利用，克服脱离教材的“题海战术”.

3 基于区分的数学发现与探究考查

发现与探究揭示了数学的发生、发展规律，是进一步认识数学的基础.数学的价值和数学的文化都需要通过发现与探究得以体现.高考中可适当设置开放性、探索性试题，考查创新意识和探究精神.考查创新意识的问题应立足于中学数学，以中学数学的基础知识为基本素材，这样更好地区分考生是否能创造性地应用知识分析问题、解决问题的能力.

例4 （文）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

s i n (− 2 5° ) + c o s 5 5 °− s i n (− 2 5 ° ) c o s 5 5 .

试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识.第（Ⅱ）问为类比研究题，通过对上述五个式子比较、分析，揭示数学的发生、发展过程.考查考生探索、研究及理性思维以及由特殊到一般地归纳猜想的抽象概括能力、数据处理能力及应用意识.

总体来说，试卷具有起点低、结尾高、入手易、深入难等特点.但各类题型的初步比较基础，收尾过难，以至于大多数考生只能得到基本分，无法将中等生与中等层次以上的学生有效的区分开来，这必然将致使试卷的区分度不高.