立体几何中组合问题的几种解法

解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。

1 直接求解法

例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?

分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。

解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。

所求方法N=210-60-3-6=141(种)

本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]

例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?

解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。

解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。

2 从几何概念上求解［2］

例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?

此题易错解，仿上例。

错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。

错解二：从10个点中任取5个点，有Ｃ■种取法，去掉6点共面的Ｃ■■个，共有Ｃ■－Ｃ■■=25－26=246(个)。

看来两种解法结果一样，认为此结果必对无疑。其实不然，由四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平行四边形，故四棱锥的底面的四个点，只能从共面的6个点中取，有Ｃ64种，顶点从不共面的4个点中取，有Ｃ1■种。因此，构成四棱锥的个数有Ｃ64Ｃ1■=60(个)。

3 从图形中求解

例4：正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?

错解一：从6个顶点中任取3个点，构成的三角形有Ｃ■■个，再次从6个顶点中任取2个点，再与中心点构成的三角形有Ｃ2■Ｃ1■(个)，共有三角形Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ1■=20+15=35(个)。

错解二：正六边形的6个顶点与它的中点共7个点中任取三个点构成的三角形的个数有Ｃ■■=35(个)。

这两种求法都忽略了图形中三点共线的情况。即三条对角线(过正六边形的中心)上的三点共线。

因此，正确的解法应是：取中心点的方法有Ｃ2■Ｃ1■－3=12。不取中心点的方法有Ｃ■■个，共组成角形有Ｃ■■+ Ｃ2■Ｃ1■－3=32(个)。

例5：如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有多少对?

解：由六棱锥的图形知六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有Ｃ1■种，再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有Ｃ1■种，共有Ｃ1■Ｃ1■=24(对)。

例6：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有几个?

解：不共面的四个点都可以构成一个四面体，从正方体的8个顶点中任取4个有Ｃ4■种取法，再结合图形去掉四点共面的情况，易知，四点共面的有6个表面，以及6个对角面。因此，所求四面体的个数为Ｃ4■-12=70-12-58(个)。

例7：用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥?

解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面可分为以下几类：①以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2Ｃ4■Ｃ1■种；②以棱柱的侧面为四棱锥的底面的共有2Ｃ1■Ｃ1■种；③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有Ｃ1■Ｃ1■种；④以棱柱的底面的对角线与相对面的一条平行边为底面的四棱锥共有2Ｃ1■Ｃ1■种。

综合以上情况，可构成的四棱锥共有2Ｃ4■Ｃ1■+2Ｃ1■Ｃ1■+Ｃ1■Ｃ1■+2Ｃ1■Ｃ1■=50+30+30+60=170(个)。

例8：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数的有多少?

解：结合图形，共线的三点组可分为三类：两端点都为顶点的(则中点为面的中心或正方体的中心)的共线三点组共有Ｃ2■=28(个)；两端点都为面的中心(则中点是正方体的中心)的共线三点组共有3个；两端点都为各棱中点的共线三点组，六个面上共(过面的中心)有2×6(个)，对角面(过正方体的中心)的共线三点线共6个。所以共有28+3+12+6=49(个)。

4 构造几何图形求解

例9：在正方体的8个顶点的所有线中，有多少对异面直线?

解：构造四面体，因为一个四面体的6条棱中有3对异面直线，而一个正方形的8个顶点可构成四面体的个数是(Ｃ4■－12)个；成为异面直线有3(Ｃ4■－12)=3(70－12)=174(对)。

参考文献

1 王有奎等.排列组问题的类型及解答策略口[J]．数学通讯，

2003(5)：13～14

2 金日制普通高级中学数学．数学第二册[下][M].人民教育

出版社中学教学室，2004

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