原子自旋陀螺基本模型Bloch方程的教学法研究

摘要：原子自旋陀螺是《惯性器件原理》课程的重要组成部分之一，原子自旋陀螺的基本动力学模型是bloch方程，一般文献中仅把Bloch方程作为一个唯象的模型直接应用，这样就给初学者在理解上造成困难。本文分别从极化率随时间演化和磁矩在磁场中受力矩作用的角度出发，推导出Bloch方程抽运项、弛豫项和进动项，最后进行合并，形成完成的Bloch方程。这种讲授方法不仅加深了初学者对Bloch方程各项物理意义的理解，而且在微观量（自旋角动量和电子磁矩）和宏观量（总角动量和总磁矩）之间建立了联系，消除了原子角动量量子化带来的理解上的困难。

关键词：原子自旋陀螺;Bloch方程;极化率;磁矩

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）21-0164-02

一、引言

原子陀螺是继机械转子陀螺和光学陀螺之后的第三代高精度陀螺仪[1，2]，是《惯性器件原理》课程的重要组成部分之一。原子陀螺包括原子干涉陀螺和原子自旋陀螺。原子自旋陀螺的基本物理模型是原子Bloch方程，Bloch方程本身是一个唯象方程，虽然可以很好地描述原子、光、磁场和弛豫之间的关系，但并不能经由量子力学的基本理论推导而来。有关的文献一般都直接应用Bloch方程进行建模和优化[3，4]。这个模型包含很多参量，如果直接进行介绍，初学者感觉枯燥，而且不容易理解。为此做了如下的尝试：首先考虑一维情况下原子极化率随时间演化，推导出Bloch方程中的抽运项和弛豫项，并说明其物理内涵;然后通过磁矩在磁场中随时间的演化，推导出进动项;之后将进动项、抽运项和弛豫项进行合并，得到完成的Bloch方程。

二、抽运项和弛豫项

通过原子抽运，使原子自旋的指向趋于一致，是实现原子自旋陀螺的前提。对原子自旋一致性的定量描述为原子极化率：

其中为n为自旋1/2的原子数，n为自旋-1/2的原子。

我们定义R为单个原子单位时间内通过抽运从自旋-1/2到自旋1/2的平均次数;

R为单个原子单位时间内通过弛豫从自旋-1/2到自旋1/2的平均次数;

R为单个原子单位时间内通过弛豫从自旋1/2到自旋-1/2的平均次数;

原子极化率随时间的演化过程可以用公式来描述：

将前面的定义代入（2.2）式得：

其中方程右边第一个圆括号中为单位时间内自旋1/2原子的增量，右边第二个圆括号中为单位时间内自旋-1/2原子的增量。

合并式（2.3）并将极化率的原始定义（2.1）代入得：

考虑到原子极化率与宏观磁矩的关系

其中μ为电子磁矩，也是磁矩的最小化量子单位，可以得到（2.6）：

其中M=μn，对应极化率为1时的总磁矩。

从（2.6）可以看出，磁矩随时间的演化为一阶环节，其时间常数τ=，稳态时的磁矩为M′=M

三、进动项

Bloch方程中的进动项可以从经典机械转子陀螺理论和电磁学来进行推导，经典转子陀螺最基本的理论即为角动量守恒定理[5]，

其中T为外力矩，H为角动量。

根据电磁学理论，磁矩在外磁场中会受到扭矩的作用，扭矩矢量为：

T=B×M （3.2）

其中B为外磁场，M为磁矩的大小。

将公式（2.5）做简单变换可得：

其中γ=为电子的旋磁比，H=（n-n）为原子自旋的总角动量。

根据公式（3.3），可以推导出磁矩随时间的演化，

将公式（3.1），（3.2）和（3.4）和合并可得，

此式即为原子自旋磁矩在磁场下的进动方程。

四、完整Bloch方程

将公式（2.6）与公式（3.5）整合，即可得到同时考虑磁场、抽运和弛豫情况下完整的Bloch方程，

此处需要指出，Bloch方程只是一个唯象的模型，上述Bloch方程的获得也并不是严格的推导，而只是将原子宏观磁矩的抽运项、弛豫项和进动项进行合并而成，并且在合并的过程中，将抽运项和弛豫项从一维扩展到三维。但是这样处理以后，从教学的角度，对Bloch方程及其各个对应项的物理内涵的理解就更加深入，也在微观原子与宏观可观测量之间搭建了桥梁，为后续讲授对消的双原子核磁共振陀螺和伴同磁强计原子自旋陀螺的模型奠定了很好的基础。

致谢：作者要诚挚地感谢俞文伯老师，正是在与俞老师的一次次讨论中，本文的思路和方法才得以形成和完善。同时要感谢房建成教授对原子惯性器件教学的支持和指导。与原子器件组陈瑶博士生的讨论也使本文受益非浅，在此一并表示致谢。本文的撰写得到国家自然科学基金（61074171，61273067），北京市自然科学基金（3122025）的资助。

参考文献：

[1]H. Dong，J. Fang，J. Qin.Analysis of the Electrons-Nuclei Coupled Atomic Gyroscope[J]. Optics Communications，2011，（284）：2886-2889，.

[2]J. Fang，J. Qin.Advances in Atomic Gyroscopes：A View from Inertial Navigation Applications[J]. Sensors，2012，（12）：6331.

[3]T. W. Kornack，R. K. Ghosh，M. V. Romalis.Nuclear spin gyroscope based on an atomic comagnetometer[J]. Phys Rev Lett，2005，95（23）：230801.1-230801.4.

[4]M. P. Ledbetter et al.Spin-exchange-relaxation-free magnetometry with Cs vapor[J]. Physical Review A，2008，（77）：033408.

[5]于波，陈云相，郭秀中，惯性技术[M].北京航空航天大学出版社，1994.