恰用范围限制,提高解题效率

在解决问题的过程中，有意识地将未知问题转化为易于解决的或已经解决的问题的思想是解决数学问题的主要思想之一.在这一过程中，如果能特别关注变量的取值范围，并用好这些范围限制，可以帮助我们找到问题解决的突破口，尽可能避免解题失误，从而提高解题效率，因此我们在教学中要重视这一问题，让学生养成重视变量的取值范围的好习惯.

1.相关概念、性质的限制

解题过程中首先要认真分析题意，注意问题涉及的相关概念和性质.如“倾斜角”、“二面角”、“等差数列”、“函数单调性”等，这些概念是在一定范围内建立起来的.解题时应特别注意这些限制的应用.

例1：求过点A（a，b），B（na，nb）（n≠1，a≠0）的直线的斜率及倾斜角.

解：n≠1，a≠0，na-a=（n-1）a≠0，k===.

设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=.

当ab>0时，>0，θ为锐角，则θ=tarctan；

当ab

点评：（1）研究直线的倾斜角时，一定要弄清斜率变化范围及倾斜角范围，同时注意反三角函数的范围.（2）应用斜率公式求直线的斜率时，要注意条件x≠x，遇到字母要注意对字母的取值进行讨论.当已知斜率求倾斜角时，若含参数，则要对斜率的正负进行讨论，当k>0时，α为锐角，此时α=arctank；当k

相关题目：（1）已知α、β都是锐角，tanα=，sinβ=，求α+2β的值.

（2）已知函数f（x）=x+（a+1）x+b的图像，=（1，-1）平移后所得的图像过点（4，2），且对一切实数x，f（x）≥x恒成立，求实数a、b的值.

2.函数定义域、值域的限制

有些数学问题中含有中间变量或需引入中间变量，我们可以用中间变量与其他变量之间的函数关系的定义域或值域为限制变量的取值范围.

例2：已知ABC是边长为2的正三角形，P、Q依次是AB、AC边上的点，且线段PQ将ABC分成面积相等的两部分，设AP=x，AQ=t，PQ=y，求：

（1）t关于x的函数关系式；（2）y关于x的函数关系式；

（3）y的最小值与最大值.

解：（1）S=，xtsin60°=，xt=2，t=，

t≤2，≤2，x≥1，又x≤2，1≤x≤2，

t关于x的函数为t=（1≤x≤2）.

（2）y=x+t-2xtcos60°=x+-2，

y=（1≤x≤2）.

（3）令f（x）=t+，易证f（t）在（0，2]上为减函数，在[2，+∞）上为增函数.

1≤x≤2，1≤x≤4，当x=2，即x=时；

当x=1或x=4，即x=1或x=2时，x+取最大值5，此时y取最小值.

点证：（1）利用函数知识解决具体问题，务必考虑函数的定义域.（2）本题中x的范围，很多学生会错误地认为0≤x≤2，主要原因是对“PQ将ABC分成面积相等的两部分”认识不足.（3）本题通过考虑函数f（t）=t+的单调性探究y的最值，一般地，f（x）=ax+（a>0，b>0）的图像是双曲线，y轴和直线y=ax是它的两条渐近线，f（x）在0，上为减函数；在，+∞上为增函数，由对称性可知f（x）在-∞，-上为增函数；在（-，0]上为减函数.

相关题目：（1）求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域；（2）求函数y=x+的值.

3.约束条件的范围限制

有些数学问题中含有多种变量（或未知量），而这些量又在一定条件下相互约束，我们可利用这些条件限制某些变量的取值范围为消元转化后解决问题创造条件.

例3：已知ABC的周长为6，BC、CA、AB成等比数列，求、的取值范围.

解：・=accosB=ac・，

a+c=6-b，b=ac，・=27-（b+3），

a+b+c=a+c+=6≥2+，

b≤2，a，b，c是三角形的三边，a，b，c成等比数列.

不妨设a≥b≥c，a=，c=bq，0

a+b+c=6，b=，

由b+c≥a得1+q≥，

≤q≤1，由b=（≤q≤1），求出（-1）≤b≤2，

・的取值范围是 [2，（3-）].

点评：由ABC的周长为6，BC、CA、AB成等比数列，求出0

相关题目：（1）已知a≥0，b≥0，且a+b=1，求a+b的最大值.

（2）已知3sin2α-cosβ=3，求α，β的值.

4.隐含条件的限制

在许多问题中，约束条件不够明显，而是隐含在题意深处，需要我们认真分析、发现.

例4，ABC中，已知sinA+cosA=，求cos2A.

解：由sinA+cosA=，两边平方得sin2A=-；

A是ABC的内角，A∈（，π），

点评：角A的取值范围是什么，是解决本题的关键，题中隐含了两个条件：（1）A不是锐角，否则sinA+cosA>1，这与sinA+cosA=

（2）A？埸（，]，否则sinA+cosA>0与sinA+cosA≤

5.不等式的综合限制

有时为了解决问题，需要综合应用不等式知识和前所述各种方法完成.

例5，如图所示，直线l的方程x=-，其中P>0；椭圆中心D（2+，0）焦点，在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点A（，0），问P在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离.

解：依题意知椭圆方程为+y=1，以A为焦点，以l为准线的抛物线方程为y=2px，所以椭圆上有四个点到A的距离等于到l的距离等于方程组+y=1y=2Px有四组不同的解.

消元整理可行x+（7P-4）x++2P=0.①

P>0，方程组有四组不同的解等价于方程①有两组相等的正根（记为x，x）.

Δ=（7P-4）-4（+2P）>0x+x=-（7P-4）>0x-x=+2P>0

P>0，0

所求P的范围为0

点评：本题将曲线的交点个数问题转化为方程组的解的个数问题，在转化过程中一定要注意转化的等价性，因此在解答过程中要综合应用不等式知识得到关于P的恰当范围限制.

相关题目：（1）在等差数列{a}中，3a=8a>0，问当n为何值时，数列{a}的前n项和S最大.

（2）设f（x）=|lgx|且f（a+b）b>0，求a+b的取值范围.

总之，在教学过程中一定要引导学生重视变量的范围限制，恰当地用好变量的范围限制，这样可以帮助学生提高解题效率，避免解题失误.