小议集合学习

苏教版高中数学必修1是这样引入集合概念的：

请仿照下列叙述，向全班同学介绍你的家庭、原来读书现在的班级情况.

我家有爸爸、妈妈和我；

我来自第三十八中学：

我现在的班级是高一（1）班，全班共有学生45人，其中男生23人，女生22人.

常言道：“物以类聚，人以群分.”其实，用数学的观点来看，这是一种最朴素、最生活化的集合的概念.上面的三句话分别表示家庭的集合、第三十八中同学的集合、高一（1）班学生的集合.集合是数学中最基本的概念之一，集合论也成为现代数学中重要的基础理论.在苏教版教材中集合是高中数学中所学习的第一个数学内容，也是今后学习和研究函数的基础.“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境.那么集合这章的内容显而易见是很重要的.

学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字：语言，工具，渐进.要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言简洁地描述问题.当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.

学习数学，首先应该注重数学概念的学习，只有真正理解了概念的内涵，才能进一步运用概念分析和解决问题.集合是指在一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成的整体.研究集合，就必须分析构成集合的对象——元素，以及这些元素所具有的共同属性.描述法就清楚地反映了集合的本质，它的基本模式是：{元素|元素的共同属性}.例如，“到线段AB两端距离相等的所有点组成的图形”，运用描述法可以表示为{P|PA=PB}，即它表示一个点集，且集合中每一个元素P都满足PA=PB.又如，对于集合A={y|y=2x+1}与集合B={（x，y）|y=2x+1}.首先应分析集合的代表元，确定该集合的元素是什么；进而弄清该集合中元素的共同属性.集合A中的元素是数，集合B中的元素是点.虽然两个集合的元素的共同属性的表达形式都是y=2x+1，意义却完全不同.集合A是数集，它表示2x+1的取值范围，即集合A表示实数集；集合B是平面上的点集，它表示平面直角坐标系中，经过点（1，3）与点（2，5）的直线理解了元素和集合的概念，才能对元素与集合、集合与集合间的关系作出正确判断，并进行集合间的各种运算.例如，空集φ与集合{φ}之间关系的正确回答应该是，当φ表示元素时，φ∈{φ}；当φ表示集合时，φ？奂{φ}.又如， 已知集合P={y|y=x■}，Q={y|y=2x}，M={（x，y）|y=x■}，N={（x，y）|y=2x}.

试求：（1）P∩Q；（2）P∪Q；（3）M∩N；（4）P∩N；（5）（C■M）∪（C■Q）.

因为集合P、Q为数集，P={y|y≥0}，Q=R，所以：

（1）P∩Q=P={y|y≥0}；（2）P∪Q=Q=R.而集合M、N均为点集，因此（3）M∩N={x，y|y=x■y=2x}={（0，0），（2，4）}；（4）P∩N=φ；（5）（C■M）∪（C■N）={平面上除去（0，0）和（2，4）的点}.若不能准确理解集合的概念，解答上述问题就有可能误解为P∩Q=P∩N={（0，0），（2，4）}.

对概念有了正确理解，也就为数学学习奠定了良好的基础.要进一步学好数学，还需要具备一定的数学的基本技能和数学思想方法.数学的内容通常都表现为“数”和“形”两个方面.实际上，数与形是同一事物的两种不同的表现形式，以形助数可以使问题变得更直观、生动，而依数解形则可以使问题变得更加严谨、精确.恰当地运用数形结合思想，不仅可以使问题得到正确解决，还可以使解题变得更简捷明了.集合既可以用列举法或描述法表示，又可以用Venn图表示.恰当地运用Venn图表示法，不仅可以帮助我们理解概念，还可以开拓解题思路.例如，设全集U={x|为不大于30的质数}，A∩（C■B）={3，5，11}，（C■A）∩B={17，23}，（C■A）∩（C■B）={2，13，19}，求集合A和B.此题可以从“数”的角度，运用逻辑推理得到正确答案，其解答过程为：U={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}，由A∩（C■B）={3，5，11}可得3，5，11∈A，且3，5，11？埸B；由（C■A）∩B（17，23）得17，23？埸A，且17，23∈B；由（C■A）∩（C■B）={2，13，19}得C■（A∪B）={2，13，19}.综上可得A={3，5，7，11，29}，B={7，17，23，29}.若此题能运用Venn图从“形”的角度分析，则显得更加直观清晰.

具体方法为：如图，全集被分成四个部分A∩B，A∩（C■B），（C■A）∩B和C■（A∪B）.根据题设将各部分所确定的元素填进去即可得到正确答案A={3，5，7，11，29}，B={7，17，23，29}.

严密的逻辑性是数学的基本特点.在数学学习过程中，重视思维的逻辑性和严谨性的培养与训练是十分必要的.如，已知集合M={x|ax■-2x+1=0}中只有一个元素，求实数a的取值范围.此题若不注意二次项系数是否为零的问题，就会使解答不完整，仅由=4-4a=0得到a=1.实际上，当二次项系数a=0时，集合M中也只有一个元素.又如，已知集合P={x|x■-2x-3=0}，Q={x|ax-1=0}，若P∩Q=Q，求实数a的值.此题的解答中若不注意到集合Q可以为空集的情况，就会导致漏解.

由于同学们刚刚进入高中阶段的数学学习，对数学的思想方法可能还不是很熟悉，想要熟练地加以运用就会显得更困难，但这并不可怕，只要能在平时的学习中，多问几个为什么，使解题从偶然走向必然，那么，学生的学习能力和解题能力一定会得到提高.集合论的创立者——德国伟大的数学家康托尔（1845—1918），就是因为不满足于对一些看似矛盾却又实际存在的问题的大众化认识，而去刻苦钻研，抛弃一切经验和直观，用理论进行论证，最终取得了令世人瞩目的成就，创立了对数学具有深远而广泛影响的基础理论——集合论.

要学好“集合”，建议大家要顺着教材中的问题串及“思考”等，引导学生学会“三招”：其一是集合语言、自然语言和图形语言之间的转换；其二是Venn图和数轴的辅助运用；其三是类比联想于算术加法和减法乃至乘法.

因此，教学中注意图形的直观性对学生理解集合知识十分有益，教师应对文氏图及数轴等数形结合的思想方法给予高度重视并多作示范.