流动水中小船在不同坐标系下运动轨迹研究

摘 要：研究了小船在不同坐标系下的运动轨迹，在直角坐标系下，讨论了小船相对速度、牵连速度取某些特定值时的运动轨迹，所得结果直观显示了轨迹形状。

关键词：极坐标；直角坐标；轨迹方程

引言

在质点力学中，常见问题之一是求解质点运动轨迹，方法是先求出质点运动学方程，然后消去时间t，得出质点运动轨迹；或者是先列出质点运动微分方程，消去方程中的时间t，得出质点轨道微分方程，求解轨道微分方程，得到质点轨道方程。为了计算方便，通常还要考虑选取合适坐标系，如小船在流动水中运动，求解轨道方程[1]；质点在有心力作用下运动，求轨道方程等问题，均采用平面极坐标[1]。文章选取平面直角坐标系，求解出了小船在流动水中运动轨道方程，并讨论了小船相对速度和牵连速度取某些特定值时，小船运动轨迹形状。

1 极坐标和直角坐标下小船运动轨迹

文献[1]给出了这样的问题：小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度v2朝岸上A点划回。假定河流速度v1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。

1.1 极坐标下小船运动轨迹的求解

图1 水流速度v1，相对速度v2

以A为极点，岸为极轴建立坐标系，如图1，船沿垂直于r的方向的速度为-v1sin？，船沿径向r方向的速度为v2和v1沿径向的分量的合成，即

（1）

（2）

两式相除，得 （3）

对两边积分，得

（4）

设■=k，■=？琢，C为常数

即 （5）

代入初始条件r=r0，？渍=？渍0。设■=？琢0，有

，得 （6）

（7）

此即小船在极坐标系中的轨迹方程。

1.2 直角坐标下小船轨迹的求解

建立如图2所示直角坐标系。

沿x方向： （8）

沿y方向： （9）

两式相除，得 （10）

这是个可分离变量的方程，令■=u

由微分知识，知

（11）

（12）

化简得 （13）

解得 （14）

其中C为常数

设初始条件x=x0，y=y0

将初始条件代入（14）式，得

（15）

（16）

此即小船在直角坐标系中的轨迹方程。

2 结束语

（1）当v2=0，即船的相对速度为零时，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0为t=0时，小船初始位置的坐标，由此可见，小船的运动轨迹为一直线。

（2）当v2=v1，即船的相对速度等于水流速度时，小船运动的轨迹方程：x=-■y2+■。

（3）当v1=0，即在静水中时，由（10）式知：■=■，y=ax，a为常数，船的运动轨迹为一直线。

由此可见，采用极坐标和直角坐标都能求解出小船在小河中的运动轨迹。用极坐标求解小船的轨迹，求解步骤少，计算简便；用直角坐标求解小船的轨迹，运算较为复杂，但结果易于讨论，直观性好，也符合利用直角坐标的习惯。

参考文献

[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.

[2]高等数学[M].上海：同济大学出版社，2009.7.

作者简介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大学物理教学。

夏清华（1963-）男，教授，籍贯：湖北省鄂州市。研究方向：非线性物理。