广义Beltrami方程组弱解分量函数的弱单调性

摘要通过对广义Beltrami方程组的特征函数G(x)、H(x)增加适当的条件,得到其弱解分量满足的A-调和方程,利用Hodge分解,得到其弱解分量函数的弱单调性。

关键词广义Beltrami方程组 很弱解 弱单调性

中图分类号:O174文献标识码:A

设为中的有界开子集,映射,。文中使用常用符号,在此不再做详细介绍。我们知道拟正则映射、Beltrami方程组和A-调和方程之间存在着密切联系。文献[2]得到一个关于双特征Beltrami方程组的解得分量的非齐次椭圆方程;文献[3],针对双特征Beltrami方程组得到一个关于其解的微分矩阵的齐次椭圆方程;文献[4],得到了单特征值的Beltrami方程组的弱解分量函数的弱单调性。在本文中,通过给广义Beltrami方程组的特征函数增加适当条件,得到其弱解分量函数的弱单调性。

对于,考虑如下有两个特征矩阵的Beltrami方程组:

(1)

设G(x)、H(x)是对称、正定、行列式为1的n阶方阵,H(x)趋于恒等矩阵Id。存在正实值函数,对于任意有:

,(2)

仿照文献[3],对满足条件(2)的广义Beltrami方程组(1)有。算子,由=给出,于是有:

。

由方程组(1),,为的第项

记,则由矩阵的散度的定义可知:

(3)令,则有:(4)

则由条件(2),对任意有:

同时,当时,,有

于是有:(i)单调性:

(ii)控制增长条件:

(iii)齐次性条件:,对所有。

简记为:, 。(5)

定义1: 称,max{1,}是方程(4)的很弱解,若对所有的,有:。

注: “弱”指的是其可积指数小于其自然指数。由上面的证明可知,在本文中,。

定义2:实值函数称为弱单调的,若对每个相对紧子集以及任意常数,使得,成立时,都有。

为研究满足条件(2)的广义Beltrami方程组的弱解分量函数的弱单调性,仿照文献[4]借助函数空间大空。本文的主要结论如下:

定理1: 设,则方程(4)的很弱解在中弱单调。

证明:对任意紧子集,,特别地,由的任意性,取。

设,取Hodge分解:

于是:,。

选取做试验函数,由弱解的定义可知

由Holder不等式和式(5)可得:

由()可知,右端第一项积分有限,且当时,右端第二项积分趋于零,进而整个右端趋于零,从而。于是方程组(1)的弱解分量在中弱单调。

由前面的推导可知,满足条件(2),(3)的广义Beltrami方程组的每一弱解分量函数都满足方程(10),其中,。从而便有:

定理2:设,(),当时,广义Beltrami方程组(1)的弱解分量在中弱单调。

参考文献

[1] T.Iwaniec, G.Martin, Geometric function theory and nonlinear analysis, Clarendon Press, Oxford,2001.

[2] Shen Zhou ZHENG, Regularity Results for the Generalized Beltrami System, Acta.Math. Sin. 2004.20(2):293~304.

[3] 高红亚,赵丽芳.关于Beltrami方程组.数学物理学报,2000.30(4):309~314.

[4] 高红亚,王红敏,顾光泽.Beltrami方程组弱解分量函数的弱单调性.数学物理学报, 2009.29(3):651~655.

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