直角三角形的分类在数学课堂教学的渗透

【摘要】直角三角形的分类有别于其他教学内容与方法，如何熟练掌握、准确应用，并非几课时的学习就能达成，必须经过一个循序渐进、不断提升的过程.针对学生在不同学习阶段拥有的知识和水平教学，使学生逐步掌握.

【关键词】分类；意识；渗透；方法

分类讨论是一种重要的数学思想方法，其中直角三角形的分类是近年各省市中考数学试卷中经常有的一个考点.如何在中学各个不同学段，通过专题归纳和训练，使学生掌握此类问题呢？本文以教学中所用的实例，对在课堂教学中如何渗透直角三角形分类思想进行研究.

一、树立意识，及时引入分类

数学思想方法的教与学具有“隐蔽性”，需要教师为学生有意搭建桥梁，及时渗透，学生才有机会认识“庐山真面目”.在讲授数学概念、公式、定理的形成过程中渗透分类思想方法，抓住新旧知识之间的联系，创设情境，让学生初步感悟直角三角形的分类.

例如：七年级下册第四章“认识三角形”的第2课时学生们认识了有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，它的三条边有直角边、斜边之分.在学生学习了“勾股定理”教学阶段，我们可以设计以下题目让学生思考.

1.如果直角三角形的两直角边长分别为3，4，那么斜边长为.

2.如果直角三角形的两边长分别为3，4，那么第三边长为.

这两个题目通过学生练习，辨析什么情况下应该分类讨论，不仅很好的揭示了直角三角形概念的内涵，并从中发展了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.课堂教学以显性的数学知识“直角边”“斜边”为主线，而分类思想方法则隐藏在数学知识的背后，这样的概念教学让学生感受了分类的必要性，并完成了合理的正迁移.

二、看准时机，提高分类认识

需要分类思想解决的问题，如果分类标准不确定，极易造成思维过程中思考片面，致使解答不完整.教师创设问题情境，给学生独立思考、交流讨论的时间，再适时点拨，让学生顿悟.学生尝到甜头，体会了分类思想在解题时的优势，自然有了探索欲望，渗透分类思想也就水到渠成.

例 如图，已知A，B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x.若ABC为直角三角形，求x的值.

根据题意易分析得ABC的各边长分别为：AB=x. AC=MA=1，BC=BN=3-x.解决这个问题应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的.所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解.

②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1

③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1

在例题教学中运用分类思想方法启发学生发现解题思路，寻求解题规律，能培养学生分析和解决问题的能力.通过分类整理，引导学生学习有序性的思考，克服盲目拼凑的毛病，有效的培养了逻辑思维.

三、掌握方法，重视分类画图

有关直角三角形分类的题目，一般方法是先分类，后画图，再计算.学生树立了分类意识后，还需要对分类的画图进行引导.对任一事物分类要按同一标准，做到不重复、不遗漏.直角三角形中，因为直角顶点不确定需分类讨论，因此直角三角形的分类标准可以是点A、点B、点C分别为直角三角形顶角的顶点，或者边BC、边AC、边AB分别为直角三角形的斜边.

例如：已知线段AB，在平面内取一点C，使得ABC是直角三角形.

（1）点C为直角三角形顶角的顶点（边AB为直角三角形的斜边）画图：以AB为直径作圆；则点C一定在圆上.

（2）点A为直角三角形顶角的顶点（边BC为直角三角形的斜边）画图：过点A作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.

（3）点B为直角三角形顶角的顶点（边AC为直角三角形的斜边）画图：过点B作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.

借助直尺圆规，学生不仅能准确的分类画图，还能掌握相关的图形特征.重视画图的过程，实质是借画图的这个载体，让学生领悟和提炼分类思想.结合坐标系，练习可设计成如下：

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（4，10）在纵轴上找一点C，使得ABC是直角三角形，则这样的点C共有几个，求出点C的坐标？

直角三角形的画图方法可归纳为“两线一圆”，这一基本思路的掌握，为以后在复杂题目中“化繁为简”打下了基础.

四、遵循规律，落实计算方法

初中数学教材的内容编排，从数与代数、空间与图形、概率与统计三方面入手，按螺旋上升原则逐步展开.学生按教材学习数学知识是三方面交替接触，从而导致分类思想方法的学习也就没有系统性和连续性.教学中教师要有打持久战的心理准备，在不同的学段反复渗透，逐步提高.

直角三角形的分类涉及角度、边长、点的坐标的计算，学生应掌握的知识包括七年级的三角形内角和定理、八年级的勾股定理和相似三角形的性质、九年级的三角函数等，以及计算中常用到的方程思想、转化思想.笔者在不同的学段结合不同知识点分别设计了类似如下的一些题目.

例 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BDDC，BC=10 cm，CD=6 cm.在线段BC，CD上有动点F，E，点F以每秒2 cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1 cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时，点E同时停止运动.设点F运动的时间为t（秒）.

（1）求AD的长；

（2）点F，E在运动过程中，如CEF与BDC相似，求线段BF的长.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、直角梯形.解（2）题时，原题中没有提出CEF与BDC相似的对应角与对应边，为防止漏解.所以应分类讨论：①BDC∽FEC；②BDC∽EFC.其实，如果把相似三角形的分类转化为直角三角形的分类也是可以的.BDC是直角三角形，若CEF与BDC相似，那么CEF也就是直角三角形.按直角顶点分类，因为∠C是锐角，只可能∠CEF=90°或∠EFC=90°，分两类讨论.

分类思想的教学具有“离散型”的特点，并非一朝一夕所至，是一项长期系统工程.教师备课时，必须深入钻研教材，循序渐进，才能落实计算的教学.

五、提高能力，加强综合演练

数学教学中，解题是最基本的活动形式.习题的解答过程，也是获得和运用分类思想的过程.教师有意识的设计与例题相同类型、结构的习题，让学生从模仿开始，千锤百炼直至他们能把模仿到的用于新的情境，解决其他问题.

例 如图，已知一次函数y=0.5x+2的图像与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图像交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴只有唯一的交点C，且OC=2.

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）设一次函数的图像y=0.5x+2与二次函数y=ax2+bx+c的图像的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标.

直角三角形的分类的掌握重在领会应用，因此学生的参与尤其重要.进行相关教学时先让学生有自己的切身体会，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建体系，当经验和领悟积累到一定程度，分类的运用就如鱼得水了.

知识的掌握只能受益一时，而思想的形成、方法的掌握却能让学生受益一生.广大教师要以大纲为方向，整体研究，将分类思想有机渗透入教学计划和教学内容中，让学生在潜移默化中领悟，并逐步内化为思维品质.

【参考文献】

[1]邓加林.关于“分类讨论思想的教学体会”[J].考试周刊.2010（21）.

[2]杨怀宏.分类讨论思想在初中教学中的应用[J].数学大世界（初中生适用）.2010（3）.