q”与“若P则q”的关系'> “p=>q”与“若P则q”的关系

【前言】q”与“若P则q”的关系'> “p=>q”与“若P则q”的关系由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。数学推理形式“p=>q”，不仅要求推理形式正确，而且要求推理的前提与结论之间要有必然的联系，也就是说，它的“前提内容”与“结论内容”要有实质意义上的联系。这与一般的逻辑推理是不一样的。 在逻辑学中，命题“若P则q”，表示两个命题P、q用逻辑联词“若……则…...

“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的……推理能力是很有必要的。新课程教材对推理“p=>q”进行了说明，“p=>q”是：“‘若p则q，为真，是指由p经过推理可得出q，也就是说，如果P成立，那么q一定成立，记作“p=>q”。可在教学中，有些教师认为“p=>q”与“‘若P则q’为真”是一样的，这是错误的。

从已知命题A1，A2，…，An。出发，按一定规则推得一个新命题B的过程，称为推理。根据新课程教材的说法，如果p成立，那么q一定成立，记作p=>q，是指由命题P成立经过推理可得出命题q成立。此时，命题P称为前提，命题q称为结论。

但是，推理的前提与结论是否真实，是属于推理内容方面的问题，不是逻辑应该回答的。

例如，无理数是实数，分数不是无理数，所以，分数不是实数。

这个推理的两个前提都为真，但推理形式不正确，因此，这个推理是一个不合乎逻辑的推理，并且，上述推理的前提与结论之间没有必然的联系，违反了推理规则。

数学推理形式“p=>q”，不仅要求推理形式正确，而且要求推理的前提与结论之间要有必然的联系，也就是说，它的“前提内容”与“结论内容”要有实质意义上的联系。这与一般的逻辑推理是不一样的。

在逻辑学中，命题“若P则q”，表示两个命题P、q用逻辑联词“若……则……”联结起来得到的新命题。这个命题记作p= >q，称为p、q的蕴涵式。也称为充分条件假言判断。它是用来断定某一事物情况存在是另一事物情况存在的条件判断。什么是充分条件？两个命题p、q，如果有P必有q，那么，P就是q的充分条件。有时，称P为前提条件，q为结论.

而数学命题“若P则q”表示的蕴涵关系，不仅要涉及形式也要涉及内容，它是一种因果关系。由上分析可知，仅仅从形式上分析，数学命题不一定是因果关系。

例如，⑴如果m>0，bn>0，那么m+n≥2

，

⑵如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

⑶如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。

⑷如果11

从形式上分析，上述四个命题都是真的，但从数学内容上分析，⑴、⑵为真，而⑶、⑷为假。

命题p、q的真假值与命题“若P则q”的真与假之间的关系可用下图表示：

命题“若P则q”的真值表

p q p=>q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

表中“1”表示命题为真命题，“0”表示命题为假命题

从表中我们可以看得出，命题“若P则q”的真与假只考虑前提条件、结论的真假值在形式上的意义，而不管它们在内容上的联系。

由上所述不难看出：

1.推理形式“p≥q”与命题“若p则q”不一样。

推理“p=>q”要求前提条件真，结论真，一定有“p=>q”，为真。不会有第二种情况。而命题“若P则q”有四种情况，其中有一种情况使命题“若p则q”为假（见上表）。因此，推理形式“p=>q”与命题“若P则q”是不一样的。

2.推理形式“p=>q”与命题“‘若P则q’为真”不一样。

使得命题“若P则q”为真有三种情况，这三种情况中，不管哪一种情况出现，那么命题“若p则q”为真。

第一种情况：前提条件为假，且结论为假；

第二种情况：前提条件为假，而结论为真；

第三种情况：前提条件为真，且结论为真。

也就是说，命题“若P则q”中，如果前提条件命题P假，且结论命题q假，一定有“若P则q”为真，这与推理“p=>q”要求前提条件真，结论真，不一样；同样，如果前提条件p为假，而结论q为真，一定有“若P则q，”为真，这与推理“p=>q”要求前提条件真，结论真，也不一样；只有第三种情况，前提条件P为真，且结论q为真，一定有“若p则q”为真，这与推理“p=>q”要求前提条件真，结论真的要求是一样的。也就是说，命题“若P则q”为真的三种情况中，只有一种情况保证前提条件真，结论真。

因此，推理形式“p=>q”与命题“若P则q”为真有三种情况是不一样的.

在第三种情况中，如果反过来，会有什么结果呢？也就是说，如果命题“若P则q”为真，且命题P真，那么会有命题q真吗？这是正确的。

此时的逻辑形式是：（p=>q）^p=>q。

要正确运用这个规则，必须保证前提p是正确的，前提P不真实、不正确，不能保证推出正确的结论q。如果得出错误的结论，用以指导我们的行动，将导致严重失误。

3.推理形式“p=>q”成立，一定有命题“若p则q”为真”。

如果推理形式“p=>q”成立，说明前提条件p真，结论q真。对照命题“若p则q”真值表，知道前提条件p真“1”，结论q真“1”，此时命题“若p则q”为真“l”成立。

4.命题“‘若P则q’为真”成立，不一定有数学推理形式“p=>q”。

如果命题“若P则q”为真。

第一种情况：前提条件p为假，且结论q为假。这时，没有数学推理形式“p=>q”

例如，命题“若3>4，则2=3”，

按照真值表，它是真命题，但是在数学学习中，我们不能说“3>4=>2=3”。

第二种情况：前提条件p为假，而结论q为真。这时，没有数学推理形式“p=>q”。

例如，命题“若3>4，则1=1”，

按照真值表，它是真命题，但是在数学学习中，我们不能说“3>4=>1=1”。

第三种情况⑴：前提条件p为真，且结论q为真，但前提与结论没有实质的联系。这时，没有数学推理形式“p=>q”。

例如，命题“若3q”。

第三种情况⑵：如果前提条件p为真，且结论q为真，且前提与结论有实质的联系。这时，有数学推理形式“p=>q”。

例如，命题“若ABC是一个平面三角形，则么∠A+∠B+∠C=180”’，在逻辑学上，符合思维形式正确、前提与结论内容都是真的，因而它是逻辑学上的真命题；在数学上，它的前提内容与结论内容有实质意义上的联系，所以能作为数学上的真命题。因此，有数学推理形式“p=>q”

由上分析，命题“‘若p则q’为真”成立，不一定有数学推理形式“p=>q”。只有命题“若p则q为真”，既符合逻辑上的要求，又符合前提、结论具看实质意义上的内在联系时，才能有数学推理形式“p=>q”。才是数学的真命题。

综上所述，“p=>q”与“若p则q”的关系是：

1.命题“‘若p则q’为真”，不一定有“p=>q”；

若有“p=>q”则命题“若p则q”为真。

数学中的“若p则q”（即因果关系p=>q），可以表示为逻辑学中的“若p则q”；但并不是一切的逻辑学中“若p则q”都可解释为数学中的“若p则q”。

把“p=>q”与“若p则q”简单地认为一样是不对的。

2.在定义“p=>q”时，不必要先说明“若p则q”为真。需要记住与理解的是：“p=>q”是说，如果p成立，那么经过推理一定可得q成立，既要符合逻辑上的要求，又要符合前提、结论具有实质意义上的内在联系。

（作者单位：533300广西百色市田林高级中学）