基于混沌序列的几种图像加密算法的优劣比较

【摘 要】混沌出现后，古典科学渐渐地变得暗淡无光。它的初值极端敏感性、非线性、伪随机性以及序列不可预测性等诸多优点，使得它非常适合用于图像及多媒体信息加密。

【关键词】混沌序列；加密算法；算法安全性

0 引言

由于图像和多媒体数据信息量极大，能够更加直观的表达，因此他们在人们数据利用和传递中占有举足轻重的地位。进入21世纪，越来越多的数据在网络中传递，数据安全问题日益严重。由于图像和多媒体信息数据量巨大，使用传统的加密方法已经不能满足需求，混沌序列的出现，使得这些问题迎刃而解。典型的混沌序列有Logistic映射、二维广义猫映射（CatMap）、三维统一混沌系统（Three Dimensional Unified Chaotic System）、超混沌（HyperChaos）等，由于超混沌序列还在不断的更新完善，本文主要分析前三种序列用于图像加密的优劣点。

1 改进的Logistic图像加密算法

1.1 Logistic映射模型

Logistic映射[1]是经典混沌映射的典范，也是混沌序列发展的奠基者，它蕴含了现代混沌理论的基本思想，是混沌序列的雏形。它的出现为混沌的研究和发展开辟了先河。Logistic映射系统定义如下：

当μ达到极限μ∞=3.5699456时，系统的稳态解是周期2∞的解，即3.569945

1.2 改进的Logistic映射模型

Logistic序列后来被证明并不是一致性分布序列，于是有人对它做了改进变换，从而得到随机性更好的序列，变换后的Logistic映射数学模型如下：

1.3 加密算法描述

使用改进后的Logistic序列进行算法设计时，由式（2）产生两个混沌序列f1（x）和f2（x），分别异或图像的奇数点和偶数点，得到密文。

1.4 实验结果分析

（1）密钥空间分析

加密时使用了2个序列，若每个序列取2个系统参数，于是就有了4个系统初值，如果所有参数都使用有15位小数的双精度数，则每个参数取值空间有1015，四个参数的组合空间是1015*4=1060，密钥空间巨大。

（2）对密钥和明文的敏感性分析

在试验验证中得知，解密时，密钥有10-10的误差将导致不能准确解密，若密文有一个像素的灰度值有变化，也会导致解密结果误差巨大，完全不能解密。由此可知该算法具有对初值的极端敏感性。

（3）统计特性分析

在图1的直方图中可以很直观的看出，明文的像素灰度值分布很不均匀，而密文的像素灰度之在区间[0，255]均匀分布。这说明明文图像和密文图像之间的相关性非常小，大大降低了已知明文的攻击可能性。

（4）解密准确性分析

试验验证时，在MatLab中将原始图像矩阵和解密后的图像矩阵相减，得到了零矩阵，说明解密图像和原始图像没有任何差异。

2 二维广义猫映射加密算法与Logistic加密算法比较

2.1 二维广义猫映射模型

Arnold最早提出了猫映射[2]，其数学模型如下：

xn+1=（xn+yn）mod1yn+1=（xn+2yn）mod1（3）

猫映射经过变换后，可得到式（4）

2.2 加密算法描述

加密算法设计时，取三组p，q，n，分别用式（4）产生的三组坐标（xi，yj），对原始图像A的R、G、B三基色的坐标RA（xi，yj）、GA（xi，yj）、BA（xi，yj）进行置换得到新的坐标值RA1（xi，yj）、GA1（xi，yj）、BA1（xi，yj）。合成三个新矩阵R1、G1、B1得到密文图像A1。

2.3 实验结果分析

（1）算法安全性分析

取三组不同的初值，二维广义猫映射有更大的密钥空间，而且该映射的复杂度较Logistic高许多，此算法的安全性高于Logistic加密算法。

（2）加密性能分析

由于改进的Logistic加密算法是用混沌序列与图像的像素值进行异或替代的，数据计算量非常大。使用MatLab7进行实验时，使用配置为PⅥ2.8、512内存的计算机进行试验，实验结果如表1所示。可以看出，广义猫映射算法用时缩短了很多，具有更高的时间效率。

（3）统计特性分析

由于采用广义猫映射的加密算法，只对明文图像的三基色的坐标进行了置换，没有对图像的像素进行处理，也就是没能改变图像的直方图。明文和密文的像素相关性较高，无法抵御已知明文的攻击，所以，此算法仍然不是很理想。

3 广义猫映射与三维统一混沌系统结合的加密算法

3.1 三维统一混沌系统的模型

Jin-hu等人[3]于2002年提出了一个新的三维混沌系统，Liu将 Lorenz系统和 Chen系统连接起来，而Liu系统仅为其一个特例，故称其为统一混沌系统，其数学模型为[3]：

3.2 加密算法描述

算法设计时，先将明文图像A使用广义猫映射算法进行坐标置换得到密文A1，依次取A1中的像素A1（xi，yi，k），k=1、2、3。当k=1时，r=x（n）；当k=2时，r=y（n）；当k=3时，r=z（n）。一次取A1的三个点，分别使用序列r构造的三个密钥Intkey1（k=1时）、 Intkey2 （k=2时）、 Intkey3（k=3时）进行像素灰度值异或替代，直到所有的点的灰度值全都被替代。

3.3 实验结果分析

采用广义猫映射与三维统一混沌系统结合的加密算法后，由于使用两种混沌序列分别对明文进行了坐标置换加密和像素值异或替代加密，密钥空间更大，序列也更加复杂。使用三维统一混沌系统对像素值异或替代后，密文图像的像素灰度值也分布均匀了，弥补了广义猫映射算法的不足。算法的安全性大大提高。

【参考文献】

[1]黄润生.混沌及其应用[M].武汉大学出版社，2005，12：134.

[2]Jorge A Gonzalez.Absolutely unpredieatable chaotic sequences[J].International Journalof Bifurcation and Chaos，2000，10（8）：1867-1874.

[3]陶栋，李之棠.混沌加密图象算法[J].计算机工程与科学，2003，25（4）：7-9.