从集合到思维的局部性

摘要：高中数学中，从第一章开始学习的就是集合，从而奠定了数学学习的基础。在集合的学习中，思维的局部性就开始展现出来。数学的学习从来就不应该是单纯的方法和思维上的模仿，更多的应该是本质上的学习，只有从本质出发去看待问题，那才是真正应该得到的数学思维。

关键词：高中数学；集合；局部思维

以数学的思维去看待和思考这个世界，是学习数学得到的最大收获。它可以使我们看到的世界更加的清晰和明朗，使各种事情都能够条理清楚，各种逻辑都不混乱。这无疑对个人或者社会都是一种具有重大意义的课程。但是，我们从这样的课程当中得到的也不尽然都是价值斐然之物，在这里，我要向大家叙述的就是，从我们一接触到的高中数学中的集合，到我们的思维的局部性。

我们知道，集合当中分为母集，子集。子集是母集的下属单位，它可以是母集本身，但更多的是母集的一部分。对于非空集合来说，它拥有的子集远远不止一个。一个具有n个元素的集合当中，它所具有的子集个数是2的n次方个。于是，这2的n次方个集合都成了我们一开始所知道的母集的下属单位。我要讲的局部思维，从这个时候便开始体现出来了。

子集本来是从属于母集的，但是严格意义上来讲，母集本身又包含在子集当中。从数学上的角度出发，我们说子集从属于母集并不出错，但是从宏观意义上来讲，母集本来就是子集的一部分，于是母集又可以说是从属于子集的。于是这个奇怪的现象就出现了，到底它们的关系中谁比谁大，放佛并没有一个明确的界限。但是数学中，一切都是清晰明朗的，本不该出现这种看上去堂而皇之而又荒缪的辑，它却又原原本本的存在着。这就说明，我们的从数学培养而来的思维，是具有一定的局限性的。

看到我以上的观点，也许会有人反驳了。子集从属于母集并不错，因为子集下面还有真子集，从数学上来说，真子集才是他们真正的下属单位。可是这并没有解决子集与母集谁是老大这一问题。虽然子集是由母集诞生而来，没有母集就没有子集，但是没有子集母集存在的价值也就大打折扣了。这一个问题我们暂且放在一旁，让我们来看看在这里面所暴露出来的另外一个问题。

子集又有一个从属单位，它叫做真子集。它的定义是这样的：在一个集合的所有子集中，除开这个集合本身的所有子集，就是这个集合的真子集。在所有的真子集里面，有一个公共的子集，那就是空集。

什么是空集呢？空集就是，这个集合当中什么都没有，我们把它定义为空集。这不免让人有些难受，既然什么都没有，那又怎么可以成为一个集合。这空集里面所包含的事物竟然显得有些虚无缥缈，谬不可言。一个非空集合当中，当然应该包含有元素，那么它的子集或者说是真子集，当然也应该包含有相应的元素才对。可是这一个空集，明明里面什么都没有，怎么就可以成为这些所有的非空集合的真子集呢？但是前面有学者定义过，我们这里不做，当然我们暂且也不了这一个数学界已经延续了许久的一个常识，但是这确确实实是一个疑问，空集所存在的价值是什么呢？

我所讲的数学思维的局限性，不简单是指从这样一个集合当中所包含的内容。但是集合是属于高中的入门知识，在一代一代学者的耕耘之下，尚且会存在这么多的疑问，那么更深层次的知识呢？我们所接受到的高中教学方法，往往是前人所总结得到的所谓“金点子”，我当然承认，在我们还现存的应试教育里面，这样的点子确实可以让人事半功倍。学生就好像是集合里面的空集，他们本来是什么都没有，老师就好像母集一样，将他们所包含的元素传递下去。但是这样单纯的被动接受的过程，并不能让学生能够更好地解决问题。只能够让他们形成单一而已重复的解题过程而已。可是空集本来就是什么都不包含的，所以它才被定义为所有集合的子集。故此它也很难被从外界给到元素去改变它空集本身的的含义。它一开始是空集，从一而终都是空集。

思维模式的固定是最可怕的，所以大多数的理科生看上去都显得有些呆呆的，缺少了一些灵动的气息。他们已经从一开始的空集，变成了非空集合的子集，可是由于子集与母集的谬论，就显得有些不知所措。我们从高中数学当中得到的，便是怎么去从一个经典的题目中得到可以应用得模板，从而满足解题的需求。但是如果我们遇见的是以前从未遇见过的经典类型，也许就会彷徨不止。因为未曾从一个既有的案列中去分析和揣摩需要构造的内容，一个难题就变得无解了。

当然，思维模式的局限，更重要的是表现在我们不敢去突破已有的观念。就比如子集就是子集，是从母集诞生而来，却不知去哪里的一个集合。可是从另外一个角度去思考，母集也可以是由子集衍生而去的，子集加上无论其他什么样的元素都可以成为这个子集的母集，这可能与大多数的常识不同，却也解释得通的一种想法。不管是从事教育工作还是在学习，在讨论数学的时候，都应该去看清楚它的本质，而不是单一的从方法上去教学和学习。

这个世界上最难认清的就是事物的本质，如果能够改变思维和方法上的模仿，数学思维所带来的局部性，就可以有所改善，从而真正的得到数学应该具有的本质品质。