随机积分案例教学――以金融衍生产品定价为例

【摘 要】案例教学法是一种以案例为中心讲解理论原理和具体处理实际问题的方法，可以很好地解决在授课中理论脱离实际应用的问题。统计学是一门数据处理的学科，只有与其它学科的实际问题有机地结合在一起，方显其生命力，本文对案例教学法在统计学专业课程中的应用存在的问题提出一整套解决方案，本文以“随机积分”理论在金融衍生产品定价中的应用和实践为例阐述如何将统计学专业课程案例教学应用到金融领域。

【关键词】案例教学法 金融衍生品定价 随机积分 B－S模型

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）01－0032－02

统计学是一门运用收集、整理、分析、推断和解释数据的科学和技术，同时也是一门艺术，用以研究社会、经济、管理与自然科学等各个领域的通用性解决方案。近年来，信息技术的发展对统计理论、方法和技术产生了深远的影响。在现代统计学专业课程的教学中，以下三个趋势已经成为信息社会中统计学教学的主要变革方向：一是广泛而实际应用性特征，即对统计理论和方法不仅仅限于理论证明或从书本到书本，更强调从现实生活、工程实践中存在的大量实际的、有意义的问题出发。二是重视学生的实际动手能力训练，关注培养学生熟练地运用电脑处理、分析数据的能力和合理解释结果的能力。三是广泛地、有效地使用各种统计软件，使统计数据处理、显示、分析和推断变得快速、有效而简单，充分发挥统计理论、技术和工具的功能。四是重视案例教学，根据实际应用问题提炼案例或根据横向课题形成案例。［1，2］

一、存在问题

案例教学在统计学专业课程中的应用我国各高校也在不同程度上进行了研究和实践，但仍然存在以下突出问题：①案例与实际问题有较大差距；②案例与统计方法结合度差；③案例缺少系统性、广泛性、时代性和实践性；④案例无法有效实施；⑤案例实用性差，无法让学生感到本课程的实用性和有用性。

二、解决方案

注意案例库的形成、积累和完善，多从实际问题、实际课题收集、整理案例并研究案例，多与其它学科结合，拓展案例库；案例的实施需要学生有一定的基础，否则是空中楼阁，因此应在学生有一定的基础知识后，案例教学才能有效地实施；最好能结合编成式软件（如SAS软件）来完成案例，否则会影响实际效果；需要改变对学生的评价模式，只有把学生完成案例的好坏与最后的考核成绩有效地结合才能激发学生的学习热情，从而保证案例教学的实际效果，应把传统的作业、考试变为作业、案例、讨论、报告、考试等环节组成，适当降低考试所占的比例。

三、随机积分在金融衍生产品定价的应用案例

自2008由于美国次贷危机引发的世界金融海啸让世界经济格局重新洗牌，世界各地对金融衍生产品的关注从未投入如此大的热情。中国的保险业、证券业、银行业等行业从未如此感到危机四伏。金融机构在投资过程中，将面临各种风险，稍有不慎，就会蒙受重大损失甚至破产。因此，如何计量和防范这些金融风险是金融机构急需解决的重大问题。

伊藤积分，这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分或勒贝格－斯蒂尔杰斯积分。伊藤积分在达布和的构造中，被积过程在小区间上的取值点不是随意一点，而只能是它的左端点。

金融衍生产品，其原意是派生物、衍生物的意思。金融衍生产品是指其价值依赖于基础资产价值变动的合约。金融衍生产品的作用有规避风险、价格发现，它是对冲资产风险的好方法。但是，任何事情都有两面性，风险规避了一定是有人去承担了，衍生产品的高杠杆性就是将巨大的风险转移给了愿意承担的人手中，这类交易者称为投机者，而规避风险的一方称为套期保值者，另外一类交易者被称为套利者，这三类交易者共同维护了金融衍生产品市场上述功能的发挥。

金融衍生产品的定价，1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B－S定价模型，［3］用于确定欧式股票期权价格。

设股票价格St满足随机微分方程：dSt＝μStdt＋σStdBt。设该期权得交割时刻为T，交割价格为K，r为无风险利率。则该期权在时刻t（0≤t＜T）的价格F（t，St）满足：

。

这就是著名的B－S方程。对欧式看涨期权，其边界条件为F（T，ST）＝max（ST－K，0），而欧式看跌期权，其边界条件为F（T，ST）＝max（K－ST，0）。对欧式看涨期权，解之得：

F（t，St）＝StΦ（d1）－Ke－r（T－t）Φ（d2）

d1＝（ln（St/K）＋（r＋σ2/2）（T－t））/（σ ）

d2＝d1－σ

对这种没有任何分红的股票的欧式看涨期权还有可以用等价鞅测度方法得到相同的结果，该方法就是去寻找一个新的概率 使得在此概率下股价St为一个鞅。我们可用解析方法或数值解

法来计算 即可得到。

期权定价公式的参数估计。①无风险利率的估计：首先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率，而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式。一般来说，美国市场大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，而中国市场过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率。其次，要注意选择利率期限，必须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。②标的资产价格波动率的估计：估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差，一般有两种，第一种直接计算样本对数收益率标准差，第二种则包括广义自回归条件异方差模型、随机波动率模型等。所谓的隐含波动率，即根据期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据。在应用衍生产品定价公式时课程存在下列问题：计算错误；期权市场价格偏离均衡；使用错误的参数；不满足假设条件。

四、结束语

充分利用案例的影响提升统计学应用领域，让学生体会到统计学的应用魅力。为了能够有效发挥案例教学的功效，需长时间积累案例，形成丰富多彩的案例库，同时，多接触其它领域的知识，形成广泛的案例，也要多做实际课题或横向课题，提炼贴近应用性强的案例，利用好案例教育就能加强学生实际团队合作和实践动手能力，激发学生学习热情。本文就随机过程或随机分析课程理论深奥，学生觉得学起来困难这种情况下，我们重点以其在金融衍生品定价领域的应用为案例，进行讲解，学生案例学习效果显著，能够做到学有所悟、学有所用，拓展学生统计学应用能力，也为学生就业打下更加良好的基础。

参考文献

1 苏理云、叶志勇、李凤兰.案例驱动和课题带动的统计学应用课程教学模式探索［J］.中国科技纵横，2010（6）：121

2 苏理云、叶志勇、李姣军.案例教学在统计学专业中的应用［J］.重庆理工大学学报（自然科学版），2009（s2）：131～132

3 张 波、张景肖.应用随机过程［M］.北京：清华大学出版社，2004