几何概型的常见题型

处理几何概型问题不仅要明确概念，掌握公式，更主要的是及时把问题转化为相应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.

几何概型问题的分类主要由[P（A）=d的测度D的测度]中的[D]确定，当[D]分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因此，解题时只要能准确理解“测度”的意义，就能将问题归结为相应的类型进行求解.

一、测度为长度的几何概型

在整个的长度上，基本事件的个数是无限的，其中的某一个事件的基本事件的个数也是无限的，此时求事件的概率一般转化为长度之比来求解.

例1 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客的候车时间不超过7分钟的概率.

分析 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻[t]可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间[（0，10]]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[[3，10]]上.

解 设上辆车于时刻[T1]到达，而下辆车于时刻[T2]到达，线段[T1T2]的长度为10，设[T]是线段[T1T2]上的点，且[TT2]的长度等于7，如图所示.

记等车时间不超过7分钟为事件[A]，事件[A]发生即当点[t]落在线段[TT2]上，即[D=T1T2=10]，[d=TT2=7].

所以[P（A）=dD=710].

答：等车时间不超过7分钟的概率是[710].

点拨 我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域[D]，这时与试验有关的问题就可利用几何概型来解决. 测度为长度问题时，画线段图，可使问题直观易解.

二、测度为面积的几何概型

将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用测度为面积的几何概型来求解.

例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过[a（13a1）]的概率.

点拨 对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概率问题，利用几何概率公式求解.本题容易忽视对三角形的构成条件的全面讨论，从而造成概率计算上的错误.

三、测度为面积的“约会型”几何概型

由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积得出问题的结论，称此类问题为“约会型”概率问题. “约会型”概率问题的求解，关键在于合理引入变量，再将具体问题“数学化”，通过数学模型，得出结论.

例3 水池的容积是[20m3]，向水池注水的水龙头[A]和水龙头[B]水的流速都是[1m3]/h，它们在一昼夜内随机开[0～24]小时，求水池不溢出水的概率.

点拨 由两个龙头引出两个变量[x]，[y]，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开[0～24]小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解.

四、测度为体积的几何概型

利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白事件所占区域和整个区域[Ω]的几何度量，以及点[P（x，y，z）]的集合所表示的图形.此外，要注意选择适当的观察角度.

点拨 在空间直角坐标系下，要明确[x2+y2+z2