常用逻辑用语题型精析

一、命题及其构造

1. 命题真伪的判断

例1 判断语句“对于，有”是不是命题.

解析 是命题.因为，即时，不成立，所以命题为假命题.

点拨 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有这两个条件都具备的语句才是命题．

答案 A

点拨 对于命题的构造，有一点必须注意：即无论是构造那种形式的命题，改变的只是条件与结论的形式与位置，“大前提”是不能改变的，否则，就改变了命题的“性质”. 本题中的“”是大前提，有别于全称量词，解题时，应引起注意.

3. 复合命题的构造

注意利用真值表进行构造并判别真假.

例3 命题：对角线互相垂直的四边形是菱形.命题：对角线互相平分的四边形是菱形.请写出“或”“且”形式的复合命题.

解析 或：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形. 且：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.

点拨 用逻辑联结词“且”“或”把命题和命题联结起来得到的新命题分别称为且命题、或命题. 如果将命题“或”写成“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”，命题“且”写成“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，这样虽将“或”与“且”写进了新的命题，其实都是错的.事实上，命题，都是假命题，由真值表知，命题或、且也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.

4. 命题的否定

命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时，在否定判断词的同时还要否定全称或存在量词.

例4 已知命题，则为 .

解析 为：.

点拨 已知命题为全称命题.在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词．本题中只要将，即可得到.

二、命题真假的判断

1. （简单）命题真假的判断

例5 下列命题中的真命题是（ ）

A. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆命题

B. 命题“奇数的平方不是偶数”的否定

C. 命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题

D. 命题“至少有一个内角为的三角形是正三角形”的否命题

4. 利用命题的真假性求参数的值或取值范围

根据命题的真假性解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化（如转化为集合间的关系），再根据具体问题进行求解.

例8 已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式. 若命题“或”是假命题，求的取值范围.

解析 由得，显然，所以或，因为，故或，所以. 又“只有一个实数满足”，即抛物线与轴只有一个交点，所以，所以或. 因为命题“或”是假命题，所以的取值范围为或.

点拨 利用命题的真假性求参数的取值范围，一般是先根据题设的条件，求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值集合（命题为假时即为其补集），然后根据每个命题的真假情况，求出对应的两个集合的并集或交集，即为所求参数的取值范围.

三、充分必要条件的判断

例9 设为所在平面上一点，若实数满足，则“”是“在的边所在的直线上”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 若中有两个成立，此时为三角形的顶点；若其中一个为零，例如，三点共线. 因此，“”是“在的边所在的直线上”的充分不必要条件.显然，反之也成立.

答案 C

点拨 判别是的什么条件，须从两个方面思考：一是由能否推出，二是由能否推出，这是最基本的判断方法（定义法）.对于较复杂的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题具体化外，还可利用命题的等价性，转化为其等价命题进行判断.

例10 设命题：；命题：，如果是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

解析 设，易知，. 由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即?，所以故所求实数的取值范围是.

点拨 利用充要条件求参数的范围，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式后再求解．

四、创新型问题

答案 D

点拨 逻辑联结“或、且、非”分别与集合的“交、并、集”运算存在一一对应的关系.本题的解答就是抓住了这种对应关系，将所给的四个命题转译为集合问题，从而与所给的四个图形之间架起了沟通的桥梁，使问题得到解决.

例12 设非空集合，满足：当时，有.给出如下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确命题的个数是（ ）

答案 D

点拨 本题通过对非空集合中元素属性的分析，结合题目中给出的性质，利用不等式的相关知识代入分析，分别确定相应命题的正确性，从而达到求解与判断的目的．