专题四、三角综合应用

一、 考点归纳

1. 熟练掌握三角变换公式、三角函数图像性质、掌握三角形中边角关系（正弦定理、余弦定理、面积公式），并能用其解决相关的综合问题.

2. 能够运用正弦定理、余弦定理以及三角变换公式等解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

二、知识点精讲

1. 解三角形应用题：

（1）理解测量中相关角概念：

①方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），如北偏东××度.

②俯角和仰角：在视线与水平线所成的角――

视线在水平线上方的角叫仰角，

视线在水平线下方的角叫俯角.

如图中OD、OE是视线，OC为水平线，∠DOC是仰角， ∠EOC是俯角.

③方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北方向作为起始方向顺时钟方向旋转到目标的方向线所成的角.

（2）求解三角形应用题的一般步骤：

①审题：分析题意，弄清已知和所求；

②建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；

③求解：正确运用正、余弦定理、面积公式求解；

④检验：检验上述所求是否符合实际意义；

⑤作答：问什么答什么.

（3）常见类型： 不少常见三角应用题可归结为图中知部分量求其他量的问题.

图形1：CDAB，AB=m，BD=n，AC=p，BC=q，CD=h，∠BAC= ，∠DBC= .

① 知m， ， ，求h（C到线路AB的距离或物体的高等）.

由tan = ，tan = ，联立方程组得：

h=mtan +h h= ；

② 知h， ， 求m或知h，m， ， ，求n.

可看作①逆向问题.

当图形在水平面上时可看作距离或物体宽度，当图形在垂直面上时可看作物体的高度问题.

③ 知m，n，h求视角∠ACB（h或n之一为变量时可求最大值）.

tan∠ACB=tan（ - ）= = =

.

图形2：两三角形综合问题.

已知∠BCA= ，∠ACD= ，∠CDB= ，∠BDA= ，求AB.

在ADC，BDC中应用正弦定理得：

AC= = ；

BC= = .

再在ABC中，应用余弦定理可得：

AB= .

2. 三角综合问题常见题型：

（1）解三角形、三角变换与三角函数图像、性质综合；

（2）三角与向量综合；

（3）三角与函数、不等式综合；

（4）三角与几何综合；

（特别注意在解析几何与立体几何中涉及三角形的计算时要有解三角形的思想）

（5）三角与数列综合.

三、 例题精选及评析

1. 在某海岛的山顶上设有一灯塔，有一测量船在A处测得灯塔在其北偏东60°且仰角为30°，当该船向正东航行了600米到达B处时测得灯塔在其北偏西15°，则此灯塔海拔高度是________米.

解析：画出示意图如历右，设D处的灯塔在海平面射影为C，

依题意知∠CAD=30°，CDAC h=CD=ACtan∠CAD；

∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°-15°=75，

∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=75°=∠ABC，

AC=AB=600， h=600 tan30°=200 米.

评析：本题是解三角形的应用题，关键是理解测量中相关角概念，根据题意画出图形，弄清相应边角.注意出现等腰或直角三角形时要用特别方法处理，以减少计算量.

2.（2013年广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m， BC = 70m， CA=50m.假定A、B、C、O四点在同一平面内.

（1）求∠BAC的大小； （2）求点O到直线BC的距离.

解析：（1）在ABC中，因为AB=80m， BC = 70m， CA=50m，

由余弦定理得cos∠BAC= …2分

= = .…………………………3分

因为∠BAC为ABC的内角，所以∠BAC= .

………………………………………………4分

（2）因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，所以点O为ABC外接圆的圆心.设外接圆的半径为R. …………………………………5分

方法1：在ABC中，由正弦定理得 =2R， ……………7分

因为BC=70，由（1）知A= ，所以sinA= .

所以2R= = ，即R= .

过点O作边BC的垂线，垂足为D. ………9分

在OBD中，OB=R= ，BD= = =35，

所以OD= = = .……………………………………11分

所以点O到直线BC的距离为 m. …………………………………………12分

方法2：连结OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D，

由（1）知∠BAC= ，所以∠BOC= .

所以∠BOD= .………9分

在RtBOD

中，BD= = =35，

所以OD= = = .

…………………………………………11分

所以点O到直线BC的距离为 m…………………………………………12分

评析：本小题主要考查解三角形等基础知识的应用题，考查正弦定理与余弦定理的应用，属于中难度题，由于三角应用题较少训练此届考生多数没能做好，所以复习备考不可忽视应用题.三角应用题一般难度并不大，画出图形很有必要，要善于抓住要点把问题转化为解三角形问题，本题“发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，所以点O为ABC外接圆的圆心”是转化的关键，法二用到平面几何性质定理，这是解三角形常法之一，因此要注意平面几何性质定理的复习，也可用正弦定理求R；通过作高化为直角三角形是解三角形的常法.最后一定要作答，否则会扣分.此题还可以用解析几何方法求角，BC为轴建立坐标系，根据条件求出O纵坐标，但计算量稍大些.

3. （2013年广州一模理）已知函数f（x）=Asin

（ x+ ）（其中x∈R，A>0， >0）的最大值为2，最小正周期为8.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）图像上两点P、Q的横坐标依次为2，4，O为原点，求 POQ的面积.

解析：（1） f（x）的最大值为2，且A>0，

A=2. …………………………………………1分

f（x）的最小正周期为8，T= =8，得

= .…………………………………2分

f（x）=2sin（ x+ ）.…………………3分

（2） f（2）=2sin（ + ）=2cos = ，

……………………………………4分

f（4）=2sin（+ ）=-2sin =- ， ……5分

P（2， ），Q（4，- ） .

解法1：│OP│= ，│PQ│=2 ，│OQ│=3 . ……………………8分

cos∠POQ= =

= . …10分

sin∠POQ= = .……11分

POQ的面积为S= OPOQsin∠POQ=

× ×3 × =3 .………………12分

解法2：

=（2， ）， =（4，- ）. ………8分

cos∠POQ=cos< ， >= = = .（下同法一） …………10分

解法3：

直线OP的方程为y= x，即x- y=0. …………………………………………7分

点Q到直线OP的距离为d= =2 . …………………………………………9分

│OP│= POQ的面积为S= │OP│・d= × ×2 =3 . …………………12分

评析：本小题主要考查三角函数的图像与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，是典型的三角函数与解三角形以及解析几何知识的综合问题，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力.三角形面积可用底高法，也可以用两边夹角法，而求高可转化为点到线的距离并利用解析几何知识求解，用夹角时先求夹角余弦值再求其正弦值，而求夹角余弦值可用余弦定理也可用向量夹角公式计算.复习时要多思考，尽量一题多解，加强知识联系，这样能更好复习，把各章节融会贯通.本题属容易题，要求快速准确作答，注意解答规范，要求先写出公式再代值计算，公式是重要的得分点与扣分点，特别是由余弦值求正弦的公式不可不写出.

4. （2013年辽宁数学）设向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈[0， ].

（I）若| |=| |求x的值； （II）求函数f（x）= ・ 的最大值.

解析：（I）| |2=（ sinx）2+（sinx）2=4sin2x，| |2=（cosx）2+（sinx）2=1.

又| |=| |，所以sin2x= .

x∈[0， ]， sinx>0， sinx= ， x= .

（II） f（x）= ・ = sinx・cosx+sinx・sinx=

sin2x+ （1-cos2x）= sin2x- cos2x+ =sin2xcos -cos2xsin + =sin（2x- ）+ .

当x= ∈[0， ]时 2x- = ，sin（2x- ）取最大值1，

f（x）的最大值为 .

评析：本题考查向量与三角函数性质，是一类常见典型的综合问题，关键是熟练掌握向量坐标运算，把问题转化为三角函数问题.本题属容易题，重点是熟练掌握向量运算以及三角变换公式，注意解题规范.

5. （2013年四川）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b.c，且2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- .

（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4 ，b=5，求向量 在 方向上的投影.

解析：（Ⅰ）由2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- ，得 [cos（A-B）+1]cosB-sin（A-B）sinB-

cosB=- ， 即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=- ， 则cos（A-B+B）=- ，即cosA=- .

（Ⅱ）由cosA=- ，0

由正弦定理，有 = ，所以sinB= = .

由题知a>b，则A>B，故B= .

根据余弦定理，有（4 ）2=52+c2-2×5c×（- ）， 解得c=1或c=-7（舍去）.

故向量 在 方向上的投影为 cosB= .

评析：本题是三角变换、解三角形与向量的综合，借助向量投影的意义所求问题转化为求余弦值的问题，从而可用正、余弦定理求解.解三角形时经常要用三角变换公式，解题关键是熟练三角变换公式.

6.（2013年江苏）已知 =（cos ，sin ）， =（cos ，sin ），0

（1）若│ - │= ，求证： ；（2）设 =（0，1），若 + = ，求 ， 的值.

解析：（1） │ - │= ， =（ - ）2= -2 ・ + =2， 又 = =cos2 +sin2 =1， = =cos2 +sin2 =1，

2-2 ・ =2， ・ =0， .

（2） = + =（cos +cos ，sin +sin ）=（0，1），

cos +cos =0，sin +sin =1，即cos =-cos ，sin =1-sin .

两边分别平方再相加得：

cos2 +sin2 =cos2 +1-2sin +sin2 1=2-2sin ，

sin = ， sin = .

评析：本题是三角变换与向量的综合题，重点是熟悉向量基本运算和三角公式.

7. （2013年江西理）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA- sinA）cosB=0.

（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围.

解析：（1）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB-

sinAcosB=0.

即有 sinAsinB- sinAcosB=0.

因为ABC中A，B∈（0，），sinA>0，sinB>0，

所以sinB- cosB=0，所以tanB= ，

又0

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.

因为a+c=1，cosB= ，有b2=3（a- ）2+ .

又0

法二：由条件及余弦定理得b2=（a+c）2-2accosB=1-3ac.

a>0，c>0，a+c=1≥2 ac≤ 1-3ac≥ .

上式当且仅当a=c时取“=”，所以b2有最小值 ，b≥ .

又ABC中a+c>b， ≤b

评析：本题是三角与函数、不等式的综合问题，关键是把b表示为a的函数，注意三角形边长为正以及三边关系等隐藏条件是正确确定范围的前提.

8. （2013年江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA= ，cosC= .

（1）求索道AB的长；

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解析：（1）在ABC中cosA = ，cosC= ， A、C∈（0， ），sinA= ，sinC = .

sinB=sin[-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= .

根据正弦定理 = 得 AB= sinC=1040m.

（2）设乙出发t分钟后到达D处，相应甲到达E处，甲乙距离为DE=d，则AD =130t，AE=50（2+t）=100+50t，由余弦定理得：

d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）× ，

d2=200（37t2-70t+50）.

依题意有0≤t≤ 即 0≤t≤8，

t= 时，即乙出发 分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.

（3） 由正弦定理 = ，得BC= sinA= × =500m.

乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C.

设乙的步行速度为V （m/min），则 │ - │≤3，

-3≤ - ≤3， ≤v≤ .

为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[ ， ]范围内 .

评析：本题是以解三角形为考点，综合考查函数、不等式知识的应用问题，用好图形把实际问题转化为解三角形问题是解此类应用题的关键，重点是熟练应用三角变换公式（平方关系、两角和公式等）和正弦定理、余弦定理.（1）重点是用好角互补关系，利用三角公式知余弦值可以求正弦值，知两角就可求第三角正、余弦值，进而就能用正弦定理求角.（2）结合图形分析，把所求问题化为求三角形第三边长的最小值问题是关键，引进变量、应用余弦定理列式是解题重点所在，再利用函数知识求最小值时要特别注意定义域.（3）行程问题关键是用好数量关系：时间=路程速度，因此先用正弦定理求出BC是第一步，再根据用时列式化为不等式问题就行了.

9.（2013年上海春招改编）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上， 点Pn在x轴上， 其横坐标为xn，且{xn}是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1= n，n∈N .

（1）若tan 3= ，求点A的坐标；

（2）若点A的坐标为（0，8 ），求使 n取最大值相应n的值.

解析：（1）设A（0，t），{xn}是首项为1、公比为2的等比数列， xn=2n-1.

如图，RtOAPn中，易知tan∠OAPn= tan∠OAPn= = .

tan 3=tan（∠OAP4-∠OAP3）= = =

， 由tan 3= 得 = ，解得t=4或t=8. 故点A的坐标为（0，4）或（0，8）.

（2）由题意，点Pn的坐标为（2n-1，0），tan∠OAPn= .

tan n=tan（∠OAPn+1-∠OAPn）= =

= .

因为 ・ ≥2 ，所以tan n≤ = ，

当且仅当 = ，即n=4时等号成立.

易知0< n< ，y=tanx在（0， ）上为增函数，

因此，当时n=4， n最大.

评注：本题是三角与数列、不等式、函数、解析大综合问题，难度不小，关键是利用内外角关系及两角差的正切公式把角表示为n的式子化为函数与不等式问题.要从第（1）求解中领悟到角与n的关系式可通过正切公式建立.最后由正切最值到角最值转化要用到复合函数单调性质，指明角范围是不可少的.此题与人教版本必修五课本P15练习题3（如图）有密切联系（只是条件有所改变而已），建议复习时关注课本例题与习题.

（作者单位：广州市第二中学）

责任编校 徐国坚