正弦定理在三棱锥中的推广

【摘 要】平面几何中的正弦定理在三维空间中进行了又一个推广，公式据有对称美、好记忆的特点、本公式能解决立体几何中一些问题，如问题三、问题四、用其它办法很难解决，而只用本定理会迎刃而解。

【关键词】 正弦定理 ； 推广； 应用

一、定理

在三棱锥中，底面三角形的一个角与对边所在的边为底的侧面三角形面积与这个侧面与底面所成的二面角的正弦值的积与这个底面三角形的角的正弦值的比成等比.

已知：在三棱锥S-ABC中，底面ABC三底角分别为A、B、C，所对边分别为a、b、c，侧面与底面所形成的二面角分别为α、β、γ，三个侧面的面积分别为Sa、Sb、Sc

求证：

■=■=■ 成立。

证明：过S向底面引垂线SO，过S向线段AB、BC、CA引垂线，得SM，SN， SK，垂足分别为M、N、K，设SM、SN、SK的长为hc，ha、hb、设SO的长为h，则ha・Sinα=hb・Sinβ=hc・Sinγ=h（1）在ABC中，■=■=■（2）

由（1）（2）得

■=■=■ 即：■=■=■，定理得证。

二、推论

（一）等积问题

推论一、当Sa=Sb=Sc时，得 ■=■=■特别的当SA底面ABC时，即Sinγ=Sinβ=1则有关系式：■=■=■则：SinA=Sinα・SinB，SinA=Sinα・SinC

（二）等角问题

推论二：在三棱锥中，若α=β=γ则 ■=■=■ 恒成立

（三）当等底面问题

当A=B=C时推论三：SaSinα=SbSinβ=ScSinγ成立

三、定理的应用

问题一、（图二）三棱锥S-ABC中，三个侧面积相等，SA底面ABC，S-BC-A二面角的平面角为α，∠ABC=30°，求证：Sinα=2Sin∠BAC.代入公式立证（略）

问题二：在三棱锥S-ABC中，

SA底面ABC，若底面ABC是等边三角形，二面角S-BC-A的平面角为α。求证：tanα=■。

证明：由SSAB=SSAC=SSBCSinα

所以 sinα=■又因为cosα=■所以 tanα=■。

问题三：如图，在长方体中，ABCD-A'B'C'D'中，M是棱长为，和求平面C'MO与平面MOD'所成二面角的平面角θ的值。

解：由图三知，在三棱锥C'-MOD'中，MD'=2■，OC'=OD'=4，根据勾股定理：D'C'=4■，M C'=■=10，OM=■=6

由海伦公式，所以：SSBC==■=14■SOC'D'=■×4■×2■=4■；∠MO'D'=■；因为MD'垂直于平面A'D'C'，所以 二面角M-D'O-C'的平面角为90°，根据三棱锥中的正弦定理，知：■=■

即： sinθ=■；所以 ：θ=arcsin■。

问题四：在长方体ABCD―A'B'C'D'中，棱长分别为a、b、c；O、O'分别是正方形ABCD 和A'B'C'D'的中心，求O'O D'所在的平面和底面A'B'C'D'所成的二面角的平面角的度数.

解：在三棱锥O―D'O'M中，∠D'O'M=θ， O―D'M―O'的二面角的平面角为90°，

S■=■・■・■=■ac

∠O'MD'=90°，sinθ=■=■；

由定理知：■=■

■c■=S■・sinα （1）又：O在平面A'C'上的射影M所以SO'D'O・cosα=SO'MD'= ■ab （2）

由（1）、（2）

tanα=■=■；α立得。

所以 ，特别的当a=b=c时，tanα=■，α=aretan■

一般地若P在OM上滑动，P到D'C'的，距离为h，求P―D'O'―C'二面角的平面角的度数与h的关系式。同理得：

■=■所以SO'D'P・sinα=■■ah S■・cosα=■a■；

所以tanα=■

当h=■a时，即tanα=■。