用好正弦、余弦定理

正弦定理和余弦定理是解三角形的重要知识和工具.解三角形是指由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少一个是边），求其余三个未知元素的过程，下面本文结合例题说明如何用好正弦、余弦定理.

例1

已知在ABC中，A=45°， C=30°， c=10，求a， b和B.

分析已知两角A， B，可由A+B+C=180°求出角C，再用正弦定理求出其他角和边.

解因为A=45°， C=30°，

所以B=180°-（A+C）=105°.

由asinA=csinC得a=csinAsinC=10×sin45°sin30°=102.

由bsinB=csinC得b=csinBsinC=10×sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=56+52.

所以a=102， b=56+52， B=105°.

评注

解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理的综合应用.有时解三角形的方法不一定只有一种，如本例中b也可以用余弦定理来求.

例2

在ABC中，已知a=2， b=22， C=15°，求角A，B和边c的值.

分析由条件和角C为边a， b的夹角，自然应先由余弦定理求边c的值.

解由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=8-43，所以c=6-2.

再由正弦定理asinA=csinC，得sinA=asinCc=12，因b＞a，故A=30°，所以B=180°-A-C=135°.

评注已知两边及其夹角解斜三角形可运用余弦定理.求出第三边后，再灵活选用正弦、余弦定理求角.若选用正弦定理来解，要注意避免增解的情况，一般根据大边对大角的性质判断出较小的角，先求小角，后求大角；本题求角也可用余弦定理，由于余弦函数在［0， π］上单调递减，这种方法还不需要讨论角的大小，有兴趣的同学不妨动手一试.

已知ABC中，a∶b∶c=2∶6∶（3+1），求ABC的各角度数.

分析题目中给出三边的比例，却没有给出一条线段的长度，余弦定理还使用不起来，引入一个字母k，用k表示a， b， c，再由余弦定理求解各角.

解因为a∶b∶c=2∶6∶（3+1），所以令a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0）.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc=22，所以A=45°.故cosB=a2+c2-b22ac=12，故B=60°.

所以C=180°-A-B=75°.

评注根据问题给出的条件a∶b∶c=2∶6∶（3+1），设a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0），为使用余弦定理求角创造条件，这里应充分肯定k的桥梁作用！一桥飞架南北，天堑变通途！

例4

在ABC中，已知a=3， b=2， B=45°，求边c.

分析本题是已知三角形的两边及其中某一边的对角，求第三条边，一种方法是先由正弦定理求出另一边所对的角，再由内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求第三条边；另一种方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1因为asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=3×sin45°2=32.

又b＜a，所以B＜A.所以A=60°或120°.

当A=60°时，C=75°，

c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22；

当A=120°时，C=15°，

c=bsinCsinB=2sin15°sin45°=6-22.

解法2因为b2=a2+c2-2accosB，所以2=3+c2-23cos45°c，即c2-6c+1=0.解得c=6±22.

评注① 已知三角形的两边及其中某一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解.

② 解三角形时，主要用到两种数学思想方法：一是利用图形和三角形几何性质进行分类讨论的思想方法；二是函数方程的思想方法.

1. 已知在ABC中，A=30°， B＝30°.

（1） 若a=1，求b， c和C；

（2） 若c=1，求a， b和C.

2. 已知在ABC中，a=3， b=2.

（1） 若A=60°，求边c；

（2） 若B=30°，求边c.

（2） C=180°-A-B=120°， a=c•sinAsinC=33， b=c•sinBsinC=33.

2 （1） 因为a2=b2+c2-2bccosA，所以3=2+c2-22c•cos60°，即c2-2c-1=0，解得c=2+62；

（2） 因为b2=a2+c2-2accosB，所以2=3+c2-23c•32，即c2-3c+1=0，解得c=3±52.