浅析数学书的阅读方法

由于数学具有高度的概括性与抽象性、严密的逻辑性、准确的结论性、形与数的统一性、准确精练的语言表达性等这些特点，因此会导致阅读数学书籍比阅读其他书籍枯燥，而且不容易读懂，读不了多少时间就让人感到困倦，甚至很想瞌睡。克服这种似读非读的最好办法，就是拿起笔边读边演算边推理，做到眼、脑、手协调并用。虽说这样读书看起来速度是慢了许多，但是我们就是要从这种慢中去求效益和质量，并且能帮助我们养成勤动脑、勤动手的良好学习习惯，有利于克服常有的“遇到问题似曾相见又不曾相识、知其然又不知其所以然、考试时以不会做而告终”的毛病。

一、概念、定理、公式要精读

对数学概念、定理、公式，我们要逐字逐句细读，要透彻理解其中的关键字词，并注意与相关问题的联系和区别，最好还要熟悉其等价表达形式，只有这样才能达到解题时的灵活运用。

比如异面直线距离概念“夹在两条异面直线之间的公垂线段的长度”中“夹公垂线段长”等字词就十分关键，而异面直线公垂线概念“和两条异面直线都垂直相交的直线”中“垂直相交”等字词就十分重要。这两个相关概念既有联系又有区别，其联系与区别即“距离是公垂线上被夹线段长”。而异面直线距离还可以叙述为等价形式“分别在两条异面直线上的两点连接线段中最短的线段长”。

又如正棱锥概念“底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心的棱锥”的等价形式有“顶点到底面多边形各顶点等距离，并且顶点到底面多边形各边等距离的棱锥”；“侧棱与底面成等角，并且侧面与底面成等角的棱锥”；“顶点在底面多边形所在平面上的射影，既是底面多边形的内心又是底面多边形的外心的棱锥”，等等。掌握概念、定理等的等价形式才能透彻理解其本质，便于灵活运用。

下面我们来看一个用异面直线距离概念的等价概念解题的例子：

已知点P在单位正方体AC′的棱BC上运动，过P、A、C′作截面，求截面面积的最小值。

分析：截面是以AC′为对角线的平行四边形APC′Q（如图），因此，截面面积等于APC′面积的两倍。由于长AC′为定值 ，要求截面面积的最小值，只要求点P到直线AC′的最小距离，即异面直线BC与AC′上两点距离的最小值，这个最小值就是异面直线BC与AC′的距离d。因此，本题转化为异面直线距离问题。

由于BC与AC′在面DC′上的射影分别是一个点C和一条直线DC′，故异面直线BC与AC′的距离是平面DC′内点C到直线DC′的距离 ，所以截面面积的最小值为 。

二、定理证明、公式推导、例题解答要演算

当我们阅读数学书上的定理证明、公式推导、例题解答时，一定要拿起笔，围绕书上的解证思路边看边演算，然后背离书籍推理演算，直至我们演算的结果与书上一致为止。在此基础上再将定理、公式、例题的用途与用法、推证所采用的思路和方法、从中体现的数学思想等整理做好笔记，最后再找两个类似的题目练习以加强巩固。

比如立几教材例题，“经过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面”。阅读时围绕反证法思路去证明，它的作用是判定两直线异面，可以作为异面直线判定定理。其解题方法――反证法是数学中重要方法，体现了正难则反的解题思维原则。

该问题的数学语言表达是：a?奂α、A∈α、A?埸a、P?埸α、P∈L、A∈L?圯直线a、L是异面直线。

最后再找两个类似题练习巩固。比如①若直线AB、CD异面，则直线AC、BD异面。②正方体的12条棱中互为异面直线的有多少对？

又如三垂线定理及其逆定理，围绕证明线面垂直达到证明线线垂直的思路去证明，其用途是空间两直线垂直的判定定理，在运用定理时要充分交代清楚定理涉及的三条直线，“平面α的斜线L、L在平面α上的射影L′及平面α内的直线a”，其相互关系是：aL′?圳aL。

三、数学语言、通俗语言、几何语言会互译

无论是在阅读书籍的过程中还是在解题前的审题中，都必须逐步学会数学语言、通俗语言、几何语言三者的相互翻译，达到数学语言通俗化及以形想数、以数思形使之数形结合，让问题更直观易于理解、便于计算，使之对知识的理解更透彻更深刻，对知识的掌握更牢固。

例如：定义在R上的函数f（x），对于任意实数x都有f（a+x）=f（a-x）成立中，f（a+x）=f（a-x）的几何意义就是函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。显然当a=0时函数f（x）是偶函数，反之亦然。f（a+x）=f（a-x）中用x去代替a+x得等价式子f（x）=f（2a-x）。

又如设z∈C并且|z-（1-2i）|+|z-（1+6i）|=10的几何意义是：以A（1，-2）、B（1，6）为焦点，长轴为10的一个椭圆。而|z-（1+2i）|=|z-（3+7i）|的几何意义是以两点A（1，2）、B（3，7）为端点的线段AB的垂直平分线。

又如：“函数f（x）= -log （ x - kx-5k+3）的定义域为实数集合R”的意义即不等式组 x - kx-5k+3＞0kx +4kx+3≠0的解集为R，而kx +4kx+3≠0的解集为R，即kx +4kx+3=0的解集为空集O。

再如式子：

+ = + 的几何意义就是x轴上的动点P（x，0）到两定点A（1，±1）、B（5，±3）的距离之和。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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