几何的教育价值分析

一、几何的教育价值

如果说,数学是各国中小学课程中最为统一的一门学科的话,那么,几何就是其中最不统一的一部分,其原因就在于几何的多样性。几何的多样性首先反映在它的特征上,其中包括作为空间科学的几何;作为概念和过程的直观表示的几何;作为数学理论与数学模型源泉的结合点的几何;作为思维和理解的一种途径的几何;作为演绎推理教学范例的几何;作为应用的工具的几何等。其次反映在它的活动方式上。几何活动一般涉及三种认知过程:视觉、构造、推理,每一种过程通常又涉及多个方面,如从视觉上看,有维度上的不同,结构上的差异,背景上的区分,位置上的变化;从构造上看,有实验性的操作,直观的构造,概念的形成,理论的构建;从推理上看,包括直觉的推理,归纳的推理,非严格的自然推理,严密的演绎推理。正因为如此,几何既可以作为不同水平的创造活动的源泉,也可以成为训练各种推理能力的场所;既可以作为日常生活中所必需的基础知识,也可以成为解决各种问题的工具。此外还反映在课程处理的途径上。从认知过程看,有操作的、直觉的、演绎的或者分析的几何;从课程结构上看,有静止的与动态的几何;从课程形式上看,又可以分为实验几何、欧氏几何、仿射几何、解析几何、拓扑几何、非欧几何等。几何的多样性带来了几何众多的教育价值。从各国的研究情况看,几何的教育价值主要表现在以下几个方面。

1.几何有利于形成科学世界观和理性精神现代社会的一个显著特征是,科学已经成为社会的一个直接的生产力。因此,学校教育的一个重要方面是让学生熟悉如何构造科学理论的一个具体实例,熟悉科学的方法。在这点上,作为世界文明史上的一个科学系统,几何是极好的模型,因为几何从简单而清楚的基础出发,运用推理的方法(以若干明显的步骤),有顺序地导出一系列重要的推断,这些推断不仅有着广泛的应用领域,而且使人在这变幻莫测的世界上体验到数学的确定性。正如爱因斯坦所说:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹。这个逻辑体系如此精密地一步一步推进,以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。推理的这种可赞叹的胜利,使人类的理智获得了取得以后成就所必需的信心。”因此,学校中的几何教学有助于学生科学世界观的形成。俄罗斯(包括东欧的一些国家)的几何课程就比较重视这一点。相比之下,西方所追求的理性精神则具有更为广泛的意义,它不仅包括方法论的成分(如科学的世界观),也包括情感方面的因素(如科学的态度)。但即便如此,几何也仍然是一个很好素材。而且,这种意义上的拓广也有利于摆脱欧氏逻辑体系和演绎推理(特别是传统三段论)的框框。

2.几何有助于培养良好的思维习惯波利亚说过,数学教育的意义并不是要教会学生去使用数学知识,而是要培养学生的思维习惯,一种数学文化修养。从这层意义上讲,几何是一种有效的训练手段。几何材料具有深刻的逻辑结构、丰富的直观背景和鲜明的认知层次。通过几何的学习可以使学生学会利用不同途径去解决问题,对几何结果形成合理的猜想,对数量结论进行快速的估计,为解决具体问题提供直观的模型,进而养成推理严谨、言必有据和条理化的思维习惯。

3.几何有助于发展演绎推理和逻辑思维能力这一点,在欧氏几何两千多年的历史中已经得到了充分的肯定。正如英国学者费克尔(D.S.Fielker)所说:“欧几里德的那些定理之所以重要,不是因为它是有用的,能够应用的或它们本身的价值,而是因为他们是演绎推理系统的自然发展的一部分。”当然,对于欧氏几何在发展演绎推理和逻辑思维能力中的作用,我们还是应该辨证地看待。首先,几何在培养逻辑思维和演绎推理能力方面仍有着重要的作用,这是毫无疑问的。因为几何要求对思维进行系统的、较为严格的训练,这有利于对演绎推理有较深入的理解。当学生掌握了定义的作用并且学习只运用这些定义而不运用他的直觉知识时(这些知识常常凌驾于具有定义所呈现的性质的对象上),当他不得不谨慎地区分直觉的途径、直觉的真实性和证据与推理的方法时,他就开始理解什么是论证。正是在几何中(而不是在代数中)产生的这种直觉和形式化的十分特殊的联系,使得几何仍然成为启发逻辑思维和培养演绎推理能力的最有效的途径。也正是因为这个缘故,几何不能被当作一个完全成熟的精确模型,而应该作为一种训练工具,使学生通过训练掌握逻辑思维和演绎推理的基本方法:如发现解决问题的“好”的策略;从特殊情形探索出一般结果;寻找命题的不同证明;逐步地形成理论等等。其次,在初级阶段,几何作为一种训练逻辑思维与演绎推理的工具,有它的长处,它的内容的直观性、难度的层次性、真假的实验性以及推理过程的可预见性,使它成为训练逻辑思维与演绎推理的理想材料。但是,从本质上来说,逻辑思维与演绎推理不能依赖于直观和直觉,因此,要使学生的逻辑思维水平达到较高层次,纯符号推理的代数证明应该引起足够的重视。此外,欧氏综合几何也不能被认为是中学中演绎方法的严谨的和逻辑的惟一模型。已有一些学者提出用逻辑学或数学的其他材料(如组合数学等)来代替几何的教育功能,但ICMI的研究表明,到目前为止,还缺乏令人信服的证据和成功的实验。而相比之下,几何材料则经历了上千年的千锤百炼。

4.几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具按照ICMI的观点,“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具,也许是数学中最直观、具体和真实的部分”。当数学的其他分支经过多次的现代处理而渐渐远离其生活源泉的时候,几何(特别是欧氏综合几何)仍保持着与现实空间的直接的丰富的联系。事实上,初等欧氏几何本身就是对现实空间质朴地加以数学化和直接应用的结果。几何中几乎所有概念都是在对物理空间的具体概念进行组织的过程中发展起来的。这种局部组织对人类的日常活动仍有重要的意义。学生在他的一生中将面对具体的对象、具体的关系、具体的变换,它们可以分别形象地表现为几何的对象、几何的关系、几何的变换。通过这种生动的类比,学生能够建立实际情况的几何模型,从而用概括化的数学方法去解决问题。

5.几何能为各种水平的创造活动提供丰富的素材首先,几何能够为学生的个体活动提供丰富多采的问题和练习。可以说,没有哪一门学科的练习题能像几何习题这样,从教育性和科学性两方面都经过了千锤百炼,从而形成了许多突出的优点,如几何题的综合性便于学生在研究时能够借助于观察、实验、类比、直觉和推理等多种手段;几何题的层次性使得不同能力水平的学生都能从中得到益处;几何题的启发性可以使学生建立广泛的联系,并把几何应用于更多的领域;而几何题的系统化则有利于学生长期地有计划地进行训练。其次,几何活动常常包含创造活动的各个方面,从构造猜想、表述假设、提供证明、发现特例和反例,到最后形成理论,这些过程在各种水平的几何活动中都可以被发现。许多数学家都认为,虽然古典几何作为一门学科来说已经死亡,但各种水平的几何活动仍然是创造力的取之不尽的源泉。此外,创造活动的一个重要因素就是直觉。一方面几何直觉在数学活动中常常起着关键的作用,代数的分析中出现的众多的几何术语表明:在某种意义上,几何的直觉已经渗透到一切数学领域中,甚至在那些看来几何是无所作为的领域内,几何直觉仍然保持有强盛的生命力,其原因就在于几何直觉所能启示的东西是重要的,可接近的和有趣的,并且可以警告我们不致在问题、思想和方法的广阔沙漠中迷失方向。另一方面,随着计算机的普及,几何语言(如图形、表格、图像等)已经成为日常生活中一种重要工具,从而也为几何直觉在其他领域的广泛迁移提供了条件。正因为如此,弗赖登塔尔认为:“把这种从学生在物理空间的具体活动通过抽象、绘图、作出模型的有限步骤达到几何直觉的最高阶段的道路清楚地描绘出来是有巨大的教育学方面的好处的。可以肯定的是:道路是存在的,并且几何教学的目标之一应该是按照使之成为学生数学思维的一种有效工具的道路,延长或改造原始的空间直觉”。

6.几何可以作为各种抽象数学结构的模型过去100年的数学史表明,今天的几何既是线性代数的源泉也是其应用的领域。不仅如此,许多重要的数学理论(如希尔伯特空间,拓扑学,测度论,群论,格论,微分几何和代数几何等)都可以通过几何的途径以自然的方式组织起来,或者从几何模型中抽象出来。这些理论中的每一种都有它本身的几何面貌,尽管它们中没有一种在几何面貌中是完善的。这就是为什么术语“几何的”被更多地应用于问题情景和模型而不是应用于理论的原因。通过几何的学习,一方面可以发展学生的提炼了的直觉,另一方面也能发展他们的更形式的思维方法,为进一步的数学学习,理解更为抽象的数学概念作好准备。毫无疑问,几何的这些教育价值是其立足中小学课程之根本,但同时,也正因为它有着众多的教育价值,而给几何课程目标的确定带来一定的困难。

二、制订几何课程目标的基本原则

课程目标既是确定课程内容的准则,也是选择课程方法的依据,同时也是评价和评估的基础。因此,确定几何课程的目标体系是几何课程改革的关键。在具体设计几何的课程目标时,应遵循以下几条原则。

1.几何的课程目标必须体现几何的教育价值

根据现代数学课程理论,几何课程目标的设计应考虑社会、文化、教育和数学学科几个方面的因素,并在各种因素之间寻找一个平衡点。但笔者以为,平衡不等于平均。从几何的特点来看,我们必须在兼顾其他因素的前提下有所侧重,其侧重点就是几何的教育价值。千百年来,几何课程虽历经风雨,却仍然生机勃勃的一个根本原因就在于它有着重要的教育价值,正如法国路易斯•巴斯德大学的名誉教授乔治•格莱斯尔(GeorgesGlaeser)所说:“几何的科学只有当它被看作一种教育的工具时,才呈现出它全部的重要性。”

2.几何的课程目标必须服从于总的教育目标

教育是一个系统工程,几何作为中小学教育体系中数学学科的一个分支,自然不能孤立地去考察其课程目标。一般讲,几何的课程目标涉及下面三个层次。第一个层次是所有课程都必须承担的共同的教育任务。在这方面,目前已有许多重要的论述,如国际21世纪教育委员会在报告《学习——内在的财富》中提出的教育的四个支柱:学会认知,学会做事,学会共同生活,以及学会生存。再如美国卡内基教学促进基金会前任主席厄尔斯特•波伊尔在《基础学校——一个学习化的社区大家庭》中提出了教育必须“致力于品格的塑造”的观点,以及品格的七个主要方面:“诚实、尊重、负责、同情、自律、坚韧、奉献”,并学会“有理想地生活”等。这些内容构成了公民素质中的基础部分,也体现了“以人为本”的现代教育思想。因此,它们处于目标体系的最高层次。第二个层次是数学教育在整个教育体系中所承担的特殊的任务,这些任务是由数学学科本身的特点所决定的,它们构成了公民素质中的特殊的、然而是必不可少的部分,这也是数学学科赖以生存之根本。在世界各国的教育体制中,数学和语言(包括母语和外语)通常都构成了基础教育的核心课程,但是很显然,数学和语言无论在学科性质、理论体系、学习方法及教育价值等方面都有很大的区别。数学在教育体系中的任务是帮助学生形成科学的世界观,养成良好的思维习惯,发展逻辑思维和演绎推理能力,运用数学解决问题等,这些都是语言(包括其他学科)所无法替代的。第三个层次是几何课程在数学教育中所承担的特殊任务。数学学科在选择课程内容时有三个依据:一是教育性,二是基础性,三是实用性。与数学的其他分支相比,在这三点上,几何课程有其自己的特色。首先,从教育性上,几何的突出的优势在于它有着众多的教育价值。其次,虽然就理论体系来说,传统的综合几何已经被排除在现代数学的基础之外,但却构成了另一种更为重要的、方法论意义上的基础:几何概念为抽象的数学结构提供直观的模型,几何方法在所有数学领域内都有广泛的作用,几何直觉是数学理解和问题解决的重要工具,几何的公理系统是组织科学体系的典范。此外,几何的实用性也并非表现在它的知识的直接应用上。的确,很少有学生在日后的生活中会运用勾股定理、计算三角形面积、证明两直线平行,但是,从几何中得到的空间感、几何直觉和思维习惯则能使每一个人终身受益。上述三个层次的目标不是相互分离的,而具有辨证的关系。一方面,几何的教学目标必须从属于数学的教育目标,而数学的教育目标又必须从属于基础教育阶段总的教育目标;另一方面,一般的教育目标往往也必须融入到特殊的教育目标中去,并由此得以实现,这样就形成了一个完整的、有机的目标体系。

3.几何课程目标必须有适当的区分

按照大众数学的观点,数学课程应该满足不同学生的不同需求,并使得所有人都能够从数学教育中得到最大的益处。做到这一点的关键是教育的区分化。教育的区分化通常也有三个层次:第一是大纲的区分(即课程标准上的区分),第二是教材的区分(即一纲多本),第三是教学的区分(即课堂教学中的因材施教)。我国的教学实践和国外的先进经验都表明,要想真正做到教育的区分化,就必须从课程标准上进行区分。也就是说,必须根据学生的不同需求、不同能力、不同文化传统和环境来制订不同水平的课程目标。教育区分化的另一层含义就是在制订总的课程目标的同时,还应该有阶段上的区分。也就是说,课程目标的实施不可能是一步到位的,而是一个逐步递进、不断完善的过程。

4.几何课程目标必须以兴趣为基础

数学历来被看作是一门难学难教的科目,因此,在数学教育领域内,学习的动机,特别是兴趣,是一个关键的因素。过去,人们仅仅把兴趣作为实现课程目标的条件和途径,这是不够的,兴趣还应该成为课程目标的一个组成部分。这里至少有两个理由:首先,按照人本主义心理学的观点,教育的最高目的是培养自我实现的人,而一个自我实现的人应该有广泛的兴趣。几何既然作为基础教育中的一门重要课程,那么,培养学生对几何的兴趣也应该是几何教学的一个重要任务。其次,成功的教育以兴趣为先导,但人的兴趣并不是天生的,兴趣的培养和激发既需要一定的过程,也需要一定的情景和机会。数学史中有丰富的例子可以说明,几何是数学兴趣的一个主要的激发点。

5.几何课程目标必须照顾到民族特点

每一个民族都有自己的特点,有优势也有不足,教育的任务就是要取长补短。这一点在各国的课程设计中都有所反映,如德国的几何课程特别重视创造能力的培养;俄罗斯的几何课程侧重于科学世界观的形成;日本的几何比较强调逻辑思维;美国的课程标准则更注重学生的几何活动等等。因此,我国的数学教育改革在借鉴国外先进经验的同时,同样也应该具有自己的特点;在发挥民族优势的同时,也应该注意弥补传统的不足。从这个角度看,在制订几何教学目标时,必须考虑以下两点。第一个是我们民族的刻苦好学精神和以家庭为中心的活动方式。虽然我们不再提倡“发悬梁,锥刺股”的苦行僧精神,但也不能像西方的一些做法那样,把学习蜕化为一种纯粹的娱乐活动。特别是几何这样一门学科,往往要经过严格的训练,有时这种训练甚至是枯燥的,因此需要更多的吃苦耐劳精神。多年来,我国的几何教育在国际上始终保持较高的水平就是一个很好的例证。西方个性化教育发展了学生的创造能力,但导致了基础教育水平的低下,这也是一个不争的事实。第二个是民族的弱点。日本东京学艺大学教育学部教授衫山吉茂在其名著《建立在公理方法上的中小学数学学习指导》中就特别强调几何的这种教育价值。他认为,东方人缺乏从具体事物中抽出原理的体系,进行体系化、抽象化的精神和建立假说进行演绎的思维方式,而数学思想,特别是公理化思想则能起到很好的弥补作用。如果我们认同这种观点的话,那么,毫无疑问,几何课程由于其特有的演绎风格、明确的概念结构、逻辑的理论体系而应该在这方面担负起特殊的任务。

三、几何课程目标体系的初步设想

在具体设计我国21世纪中小学几何课程目标之前,还有以下两个问题需要考虑。首先是处理方式问题。在设计几何课程目标时,目前大体上有两种风格:一种是“大纲”风格,一种是“标准”风格。前者的特点是:首先给出几何教学的能力目标,然后以知识点为线索对能力目标进行细化和落实;后者则以数学活动为线索,把知识目标和能力目标分别划分为若干个水平。应该说,两者各有长短,我们要做的就是取长补短。其次是水平划分问题。在这方面,目前比较流行的理论主要是范希尔(vanHiele)理论和SOLO理论。其中,范希尔在格式塔心理学和皮亚杰发生认识论的基础上,从整体上把几何思维分为认识、分析、序列、演绎、严密5种水平,并提出了相应的教学策略。而SOLO(StructureoftheObservedLearningOutcome)理论则进一步解释了学生个体在几何方面的理解,它首先定义了5个模式:感觉、想象、具体符号、形式、后形式,用来描述相应的思维的类型,然后再利用水平的划分对模式进行定性的分析。根据这两个理论,参考各国的先进经验,并结合上面的一些论述,笔者认为,为了更好地融合知识目标和能力目标,更准确地划分各种水平,就应该从以往的线性的目标体系,转变为立体的目标体系。为此,笔者设计了下面的三维模型(见图)。当然,模型仅仅给出了几何课程目标的基本框架,在具体操作时还必须考虑下面几个问题。

首先是目标的细化。在模型中,每个维度都有5个一级目标,由此产生125个二级子目标,而这些子目标往往又有其具体的含义,或者包含若干特殊的方面,如“图形”“表示”在“直观”水平的含义一般指对图形的各种画法(平面图、直观图、透视图等)的整体的认识;而“概念”“推理”在“演绎”水平上则体现为对概念逻辑体系的把握等等。

其次是年级的区分。世界各国在年级的区分上通常有两种做法。一种是按每个年级进行区分,如我国的大纲、德国的标准等。另一种是按学段进行区分,如美国2000年标准草案就划分为:学龄前～2年级;3～5年级;6～8年级;9～12年级四个学段。笔者比较赞成后一种做法,因为从心理学角度看,儿童认知水平的发展虽然有一定的阶段性,但却没有清晰的、一致的界线;而且国外的实践也证明,按学段进行区分,既有利于课程的操作,也有利于教学的调整。此外是案例的说明。这是课程目标体系的一个有机的组成部分,适当的案例既是对课程目标的进一步刻画,也有利于教学中对目标的准确把握和落实。最后是教学的措施。范希尔和SOLO理论的一个突出的优点是将目标层次和教学措施结合在一起,从而进一步明确了在某个特殊层次内的教学特点,以及从一个层次过渡到另一个层次所必须具备的条件和相应的教学途径,这样就形成了一个“目标为教学导向,教学为目标服务”的良好机制。

几何就像一面多棱镜,每一面都能折射出不同的光芒,可以满足不同人的不同需求,但也难以找到一个共同的核心。对此,国际数学教育委员会(ICMI)在其1998年的研究丛书的前言中指出:“在制订中学几何课程时,我们必须作出选择。历史上的各种课程试验,往往由于偏重于某个特征而忽略了其他特征,至今没有一个成功的例子。特别的经验表明,不可能跳过早期的直觉的阶段,而把几何教学局限于形式的、代数的特征。当然,另一方面也没有理由忽视形式的几何,它曾经,今天仍然,今后也将是严格演绎推理的模型。同样,也不能忽视它的代数特征,从根本上看,它是进一步学习的最有效的途径。关键是找到平衡点,但不可能是单一的途径。”有所侧重但寻找平衡,这正是笔者写作此文的出发点。