两种方法估计Shibor3M短期利率模型参数

【摘要】本文分别利用 Euler Perdersen 两种方法对CIR利率模型进行参数估计。

【关键词】利率模型 Euler格式 模拟似然函数

一、背景介绍

随机微分方程被广泛应用于金融，物理，生物等领域。然而在数学建模的时候我们假定是连续时间模型但是在实际应用的时候观测的数据是离散的数据。同时，随机微分方程的漂移项和扩散项收敛速率不一样，以上种种原因，加上问题本身在经济金融中的重要性，使得随机微分方程的参数估计统计推断成为了统计中很热门的一个方向。统计中的很多方法也可以应用到这个方向上，在实际使用中我们主要依据不同的要求使用不同的方法，本文只使用两种最基本的方法估计Shibor利率。

一般而言一个单因子利率模型可以写成下述随机微分方程的形式：

如果他的转移概率密度有显示的表达式的话，就可以直接写出他的似然函数，然后使用数值的方法估计出参数。然而，不幸的是，这种情况非常罕见。

估计（1.1）式的难点在于漂移项和扩散项的收敛速度不一样，这样一来，一项估计的较精确，另一项就会相对表现较差。利率模型的重要性和上述估计的困难，吸引了大量的统计学家从事这一领域，而事实上大量的统计方法也确实可以用在这一领域中。本文使用Euler Perdersen 两种方法估计Shibor 3M 利率，时间从2012年3M数据（共249个数据）。

二、估计方法

（一）Euler 法

Euler 法是基本的参数估计方法，因为他在原理上的简洁性，在实际中也得到了很多应用。Euler法在时间间隔较小的时候比较精确，但是一旦时间间隔过大，效果就很不好。此外，对时间间隔和扩散项也有一些要求，就不一一列举了。设随机微分方程形式为，那么用Euler格式将其

在区间离散化。如果足够小，那么。据此可以写出似然函数。

（二）Perdersen 模拟似然函数方法

Pedersen ，A，R（1995）的方法思想上比较巧妙。上述Euler法在时间间隔比较短的情况下较为好用，但是假设一个区间太长，比如是月度数据的话，估计结果就会很不精确。结局的办法是再把区间分成N份（一般取N=5效果就足够好了），先用Euler 离散的格式走到第四个点，然后再用第四个点到终点两个点的值应用（1，1）式的离散形式，这样就完成了一次抽样。设完成M次抽样，一般M=10000。最后一段转移密度的值用。计算，再把这些转移密度的值做平均，即得到一个的转移密度的替代值值，因为并不是真正的转移密度值，所以这也是一种QMLE的方法。这样一来，最后一步的转移密度的Monte Carlo表达式可以写成。我们注意到实际的循环次数是非常多的。假设有251个观测数据，那么有250个，那么最少需要有

250100004=1e+07次计算。那么不难理解为什么有非常多的工作致力于用一些方差缩减技术提高抽样精度，减少抽样次数。

三、估计结果

我们估计下列简单的CIR模型的参数：

四、结论

Euler 法简洁有效，而Perdersen的方法如果M不是取得足够大的话反而会不精确。而且Perdersen的方法非常耗时间。--一般的电脑配置，一年250个数据，取M = 10000的话大概要算8个小时。所以要满足即时报价的要求的话，Perdersen的方法是很难做到的。当然，以上的两种方法是最基础的方法，事实上 ，计量中比较有代表新的估计方法都可以应用到随机利率模型的参数估计之中。那么，已经有那么多种估计，为什么还要研究随机微分方程的参数估计呢，主要的原因在于随机微分方程的漂移项与扩散项的收敛速度不一样，换言之，一个的信息会干扰另一个的信息，一项估计的准确，另一项就会不准确。然而实际的使用上又是离散的观测值，所以这个问题一直是热门的问题。

五、展望

现在的研究几种在多维，带跳的过程，Levy过程。其中数值方法应用与带跳的随机微分方程的文献一直较少，不过最近Eckhard Platen 出了一本专著Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance 。可以作为研究的起点，但是要在高维满足简洁精确快速地要求一方面是大量的问题，另一方面是严峻的挑战。

参考文献

[1] SM Iacus.Simulation and inference for stochastic differential equations： with R examples [J]. Springer，2009.

[2] SM Iacus.Option Pricing and Estimation of Financial Models with R[J]. Wiley，2011.

[3] BLSP Rao.Statistical inference for diffusion type processes[J]. Wiley，1999.

作者简介：张睿（1982-），四川成都人，汉族，西南财经大学统计学院，硕士研究生，研究方向：金融数量分析。