SSA一定不成立吗?

[摘要]本文通过在几何教学中，给学生精心设计了一连串问题，有效地掀起了一股课堂“头脑风暴”，激发起学生们研究问题、解决问题的自主意识，并通过老师引导学生对问题逐一展开研究，层层剥笋，步步深入，让学生在全情投入的课堂氛围中，更多地享受到思考的快乐，并提升他们的创新意识和能力。

[关键词] 问题意识 分类讨论法 创新意识 探究精神

[教学背景]

最近在学习苏科版七下数学第十一章《探索三角形全等的条件》，开始引入探索三角形全等的条件是从定义开始的，需要6个条件，即3条边3个角，后来减少为3个条件，任选3个条件再去一一讨论。不难得出由“边”和“角”排列组合而成的情况共有以下6种：“边边边”（SSS），“角角角”（AAA），“边角边”（SAS），“边边角”（SSA），“角边角”（ASA），“角角边”（AAS）（括号内字母为简称，“A”表示角，“S”表示边，且第一和第三个位置对称）。“AAA”的情形学生是很容易排除的，然后依次探索了SAS，ASA，AAS，SSS的判定方法，并把SSA的探索放在了最后，准备用举反例来否定这个命题，同时得出直角三角形的“HL”判定方法。

[教学过程]

开始上课了，让学生回忆了已学过的判定全等的方法后，抛出一个问题：“今天我们应该来探索哪一种判定条件了？”同学们不约而同地回答：“SSA！”像前几节新课一样，先给出一个作图题：画ΔABC，使得∠ABC=40°，AB=5cm，AC=3.5cm。已知两边及其中一边的对角的具体数值，让学生画出相应的三角形，画完后用剪刀将所画三角形剪下来，与邻座的同学比较，看是否重合。大部分同学画的是锐角三角形的情形，得到的结论是重合，有个别的同学提出异议：“老师，我们的不重合！”拿到投影仪下对比后，大家发现原来按照给出的这3个条件能画出不同形状的三角形。

“为什么它们不全等呢？”

很多学生都有疑惑，都等待我解惑呢。我把放大了的三角形画到黑板上（如右图），

并且把CC’间的圆弧画出来了，我没有急着解释，而是让大家观察图中的ΔABC与ΔABC’。“问题出在哪儿？”一个学生出来解释：“在用尺规画AC边时，可画出两条3.5cm长的线段与BC边相交。”我接着问道：“会不会还不止两条这样的线段呢？”问题就是要找出所有到点A的距离是3.5cm的点。由于学生没有学过圆的概念，这里还需要老师协助解决问题。“这些点其实就在以点A为圆心，3.5cm为半径的圆上”，我们不妨把这个圆画出来再检验一下答案是否完整（如右图），

从图上可以看出这个圆与直线BC的交点共有两个。讲到这里，学生都深深地投入到了问题的思考中。看懂了刚才的操作，学生不仅明白了为什么能画出两个满足条件的三角形，而且感觉到“圆”这个“家伙”真神奇，同时也为后面探索直角三角形和钝角三角形全等的条件提供了方法。

这时，我再次把大家的思路拉回开始上课时探索的问题：“ SSA的判定条件还成立吗？”几乎所有学生都很肯定地回答：“不成立！”我继续引导：“只研究一种情形我们就能得出一般性结论吗？我们研究问题时千万不能以偏概全，应该把所有的情形都要研究到！”刚才探究的是已知对应角是锐角的情况，再看看对应角是直角和钝角时又会是怎样的结果。我让学生动手，先画一个直角ΔABC，使得∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，画完后再画一个钝角ΔABC，使得∠ABC=120°，AB=3cm，AC=5cm，看看画出的三角形是否都能重合，如果能重合那就全等。同时请两位同学到黑板上画，一来看看大图的效果，二来考考学生的作图能力。让学生用同样的画圆的方法找出点C，经过前一个图的启发，很多学生是不难把这两幅图画出来的。如下图

这时我给出一个问题：“综合刚才研究的三个图形，你能得出什么结论？”

学生回答得不是很完整，经过同学和老师的补充后，大家得出这样一个结论：满足两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等，当对应角是锐角时有全等和不全等两种，当对应角是直角或钝角时则一定全等。所以SSA不能作为一个普遍性的结论用来判定三角形全等，在初中数学中只把这个结论用来判定直角三角形这类特殊的三角形全等，又因为 的角所对的边是斜边，故判定名称叫做“斜边，直角边”，即“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”，简称为“HL”。这样一来直角三角形的判定方法除了前面研究的4种以外又多了一种，一共5种方法。

[教学反思]

下课后，学生都感到这节课过得很快，不少学生意犹未尽，依旧沉浸在对问题的积极讨论中。这说明这节课大家上得很充实、很投入、很有兴趣。事实上，这节课就是由几个“为什么”串联而成的，从短期效应看，这样的问题串设计不仅让学生知道了为什么“SSA”不能作为一般性判定条件，同时也验证了“HL”是判定直角三角形全等可行的方法，从长期的效应看，这样的问题串设计还培养了学生的问题意识和探究精神，也渗透了在研究数学问题时分类讨论通常作为一种很重要的思想方法。

问题意识在思维过程和科学创新活动中占有重要的地位，它是思维的动力，是创新精神的基石，是创新能力的基础。因此强化学生的问题意识是培养学生创新精神的起点。

亚里士多德曾说过：“思维永远是由问题开始的。”通过解决某个问题，连带出一系列相关的问题，使问题一步步深化、拓宽。在这个过程中，学生想象力丰富，思维开阔，既培养了学生的问题意识，又深化了对知识的理解。因此，教师应注重营造问题氛围，渗透数学思想，从而有效提高学生应用知识解决问题的能力和创新思维能力。