也谈sSA到底能不能证明全等

最近我上一届的学生小勇回来学校来看我，再次和我讨论起SSA到底能不能证明两个三角形全等的问题，他仍然坚持认为SSA是可以证明全等的。小勇说最近他看了某所高校所主办的杂志中的一篇文章，题目就是《SSA到底能不能证明全等》很受启发，认为现在有足够理由说服我。小勇目前就读高中，数学的视野自然增加不少，对本问题也许有了真知灼见。看客小勇的见解：

一、他认为教材应该讲SSA证明全等

我们知道，人教版实验教科书八年级数学教材上学期讲述的证明三角形全等有很多方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL。关于SSA，也就是，已知三角形的两边以及一边的对角对应相等时两个三角形是否全等，教材举出了如右图的例子：

ABC与ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但是两个三角形不能重合---不全等。从而给出了结论：已知三角形的两边以及一边的对角对应相等时并不能证明两个三角形全等。

小勇认为，这是教材的武断，他说这两个三角形的形状不相似，大小也不一样当然是不全等，如果形状一样，又满足SSA，完全可以证明全等。比如证明两个直角三角形全等的HL，即已知两个直角三角形的一个直角边和一个斜边对应相等的情况下，就可以判断出这两个直角三角形全等。所以HL就是SSA的特例，只不过现在已知的另外一个角是90度而已，教材不是也作为定理了嘛，为什么就不肯承认SSA的正确性呢？

二、他认为可以利用园的性质从另一角度证明SSA的正确性。

为了研究和ABC满足SSA条件的三角形，做出它的外接圆，如图（1），

并以AB为边，在同侧作ABD，要想使其满足有一个角相等，只能使点D在圆上，要想有另外一个“非夹边”对应相等，只需取BD=AC，则弧BD=弧AC所以∠ABC=∠BAD，又因为∠C=∠D，所以ABC≌BAD（AAS）。如果AB恰好是直径如图（2），则可以做出三个满足SSA的三角形，全都与ABC全等。这个时候所讨论三角形都是直角三角形，本质就是HL， 其正确性毋庸质疑。

因此，小勇认为应该承认SSA的正确性，如果把SSA编进教材，可以如此总结：已知三个条件对应相等，并且至少有一个条件是边相等的情况下，我们就可以证明这两个三角形全等。

针对小勇谈的第一点，我认为，两个如果三角形以形状相同为前提，SSA可以证明全等的结论是正确的，但这样一来，两个三角形全等的条件由三个变成了四个，并不是真正的SSA。另外形状相同涉及到相似的概念，学生尚未正式学习，这样处理显然不妥，教材当然不予采纳。数学讲究严谨科学，一旦有一个反例，则命题的局部正确性不足以使其成为定理。

其实他第二点谈的证明方法似乎是新颖的，但是并没有全面考虑，我就他的图形的基础上举出反例如下：

在图（3）中，满足AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD，满足SSA的条件，但是ABC与ABD会全等吗？我问小勇，他无言以对。在图（4）中，满足AC=AC，BC=CD， ∠B=∠D，满足SSA的条件，但是ABC与ABD会全等吗？小勇再次无言以对。

小勇说没有想到自己证明方法有遗漏，实在可惜，哎这个方法也是在杂志上学来的啊，想不到会是不全面的。尽管小勇承认了后面证明方法的疏漏，但他还是坚持认为教材应该承认SSA的正确性。 这孩子还真是很扭！

其实我们知道，SSA在角为直角和钝角时都是成立的。当角为直角时SSA其实就是HL定理，角为钝角时，SSA作为定理也未尝不可。教材的安排维护了定理的严谨性科学性全面性，显然也是很有道理的。我想时间会说服小勇的，现在就让他继续思考吧！思考着，自然进步着！

参考文献：

1.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》

2.《基础教育课程改革纲要（试行）》

3.《义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册》