在统计教学中用好插值法培养统计人才

摘 要：由于统计课程的公式众多且计算复杂，在实际教学工作中，统计课程的教学工作难度很大。插值法作为一种方便简捷的计算方法在财务分析中一直大量而广泛地使用。教师要以中位数和众数的计算为例，研究如何灵活运用插值法求解统计课程中组距数列的中位数和众数，以培养统计人才。

关键词：插值法；中位数；众数；统计人才

插值法作为一种方便简捷的计算方法在财务分析中一直大量而广泛地使用。下面，教师以中位数和众数的计算为例，阐述如何灵活运用插值法求解统计课程中组距数列的中位数和众数，以培养统计人才。

一、中位数和众数

中位数和众数同属平均指标，主要用来反映同类现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。

（1）中位数。中位数是标志值按大小顺序排列的变量数列中处于中间位置的标志值，用“Me”表示。由于其位置居中，不易受极端数值的影响，因而常用它来代表现象的一般水平。

根据未分组资料确定中位数时，先将总体各单位的标志值按从小到大的顺序排列，然后确定中位数所处的位置，处于数列中间位置的标志值即为中位数。确定中位数位置的方法是：中位数位置。当n为奇数时，处于数列中间位置的标志值即为中位数；当n为偶数时，处于数列中间位置的两个标志值的简单算术平均数即为中位数。设有一组数据从小到大排序后为，则中位数是X与X的平均数。即

根据组距数列计算中位数的具体步骤是：先计算累计次数，并按公式中位数的位置=确定中位数所在组的位置，然后，再根据公式推算中位数的具体数值。由于在统计工作中累计次数有向上累计和向下累计两种计算方法，所以中位数的计算分为下限公式和上限公式两种：

公式中：L表示中位数所在组的下限；U表示中位数所在组的上限；表示中位数所在组以下的累计次数；表示中位数所在组以上的累计次数；fm表示中位数所在组的次数；d表示中位数组的组距。

（2）众数。众数是现象总体中出现次数最多的标志值，亦即出现最为普遍、最为常见的数值，用“Mo”表示。众数具有计量快速、方便，且不易受极端数值影响的优势。在实际工作中，如果只要求掌握一般常见的数据作为研究问题、安排工作或生产的参考，就可采用众数来说明现象的一般水平。

众数的计算分两种情况，在未分组资料或单项数列中，可用观察法直接确定众数，即总体中出现次数最多的标志值就是众数。

当掌握的资料为组距数列时，先要确定次数最多的一组为众数组，然后根据数列的次数分布情况，利用公式计算众数的近似值。其计算公式为：

公式中：L为众数组下限；U为众数组上限，Δ1为众数所在组的次数与其前一组次数之差，Δ2为众数所在组的次数与其后一组次数之差，d为众数组的组距。

通过以上介绍可以看出，统计中位数和众数的计算分为多种情况，每种情况的计算公式又较为复杂、难以理解且容易混淆，给学生的学习造成了很大的困难。

二、插值法

插值法又叫内插法，主要是利用数学上的等比关系，用一组已知的未知函数的自变量的值和与其相对应的函数值来求未知函数其他值的对应自变量的值的近似计算方法。若假设三点在一条直线上，插值法则可以利用直线上任意两点间横坐标距离之比等于对应纵坐标距离之比的关系而近似求得其他未知数。

在财务分析中，无论是在货币时间价值的计算中求利率i或年限n，还是在债券估价中求债券的到期收益率，或在项目投资决策指标中求内含报酬率等都要大量而广泛地使用插值法。所以，插值法是财经类专业学生必须熟练掌握的一种计算方法，同样，这种方法也可用于方便地求解统计中位数和众数。

三、利用插值法求解组距数列中位数和众数

在未分组资料中，确定中位数和众数的方法较为简单，而根据分组资料计算中位数和众数的公式容易混淆且难以理解，所以，以下内容着重阐述如何运用插值法来求解组距数列的中位数和众数。

例：某厂工人生产某零件的有关资料如表1所示，试根据资料计算中位数和众数。

（1）利用插值法求解中位数。

首先，根据资料确定中位数所在的组：中位数位置===40（人）。根据向上累计次数，第40个工人包含在累计次数50中，说明中位数在累计工人人数为50人的组，即变量值为800～1000件的组；根据向下累计次数，第40个工人包含在累计次数60中，说明中位数在累计工人数为60人的组，该组对应的变量值亦为800～1000件。这说明800～1000件就是中位数所在组。

第二步，分析计算中位数。

如图1所示，假定整个中位数所在的组内，次数分布是均匀的，横轴代表的是累计工人人数。800为中位数所在组的下限，对应的累计工人人数为201000为中位数所在组的上限，对应的累计工人人数为50，设我们要求的中位数，即第40个工人所生产的零件个数为X，根据图2中插值法的对应比例关系，可列方程：=?x=800+×200=933.33（件）。

同样，我们还可以利用组上限和中位数之间的比例关系，如图3所示，列得方程：

不管是利用怎样的比例关系，求得的中位数结果是一致的。利用插值法求解中位数易于理解，且不用记忆公式，在教学过程中深受学生们的欢迎。

（2）利用插值法求解众数。

仍以表1资料为例，做众数分布直方图如图4所示。假定直方图横坐标是组距，即按工人生产零件数的分组；纵坐标是次数分布情况，即各组的生产工人人数。一般来说，在等距数列中次数分布愈集中，直方柱愈高。从图中可以看出，中间一组即生产的零件个数为800～1000件的那组就是众数所在的组，其次数分布最集中。G点是众数所在组的下限：800件，H点是众数所在组的上限：1000件，GH的距离就是众数组的组距：200件，MO点就是众数所在的位置。

分析图4可以看出，众数的位置主要取决于众数所在组的左右两邻组的次数分布。如果左右两邻组的次数分布相等即高度相等，无疑众数就在众数所在组的正中央；如果左邻组的次数分布高于右邻组的次数分布，则MO会偏向左边，靠近众数组的下限800；如果左邻组的次数分布低于右邻组的次数分布，则MO会偏向右边，靠近众数组的上限1000。

在直方图中，AB的距离为1，且1=30-12；CD的距离为2，且2=30-25。连结AD和BC两条线段，它们的交点为O，从O点作垂线，与横坐标轴的交点就是MO，过MO点作平行与横轴的直线分别相交AB、CD两条线段于E、F两点。由于OMO与横轴垂直，所以，设EO=GMO为X；则OF=MOH=200-X。从图4中可以发现，AOB与COD为对角三角形，即AOB≌COD，根据相似三角形的性质，这两个相似三角形所对应的底边和高成比例，即=，由于EO=GMO=X；OF=MOH=200-X；AB=1；CD=2，所以=，将资料中的数据代入公式中，则：=

参考文献：

[1]钟新联，师应来.统计基础知识（第2版）[M].北京：中国财政经

济出版社，2009.

[2]甘知伦.组距分组数列中位数的计算方法的改进[J].统计与决

策，2013（1）.

（河南郑州工业贸易学校）