注重课堂问题设计 优化学生思维能力

摘 要：心理学认为：思维总是和解决问题联系在一起的，人们为解决问题而思维，思维总是指向解决问题． 教师在课堂上设计的问题，不仅能巩固与检测教学效果，而且能促进学生把知识转化为技能，优化学生的思维与能力． 因此，课堂教学中需要教师精心设计问题，优化学生的思维品质，提高学生的能力．

关键词：课堂；问题设计；思维；能力

本文是笔者针对培养学生的不同思维和能力，阐述课堂问题的设计策略．

设计直观性问题，培养直觉思维

直觉思维是不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式，它是思维中最活跃、最积极、最有创造性的成分． 著名数学家吴文俊说：“只有推理，缺乏数学直觉是不会有创造性的．” 培养学生的直觉思维能力的方法灵活多样，其中最有效的办法是让学生主动地去观察，观察是诱发直觉思维的最主要形式．因此，课堂教学中设计直观性问题，提高学生的观察能力，以培养学生的直觉思维．

例1 （1）（2009湖北高考）已知关于x的不等式＜0的解集是（－∞，－1）∪－，+∞，则a=_______．

（2）（2010银川模拟）如图1，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA平面ABCD，PA=．

①证明：平面PBE平面PAB；

②求二面角A－BE－P的大小．

分析：（1）本例利用直觉思维，意识到解集中的－1，－是不等式的零根，显然－是分子ax－1=0的解，可得a值． （2）认真观察，分析题目条件，依靠直觉思维得出∠PBA是二面角A－BE－P的平面角，再加以证明，可使问题目标明确，化难为易．

在课堂教学中，若能设计出训练学生直觉思维的直观性问题，可以使学生解题目标更明确，化难为易，迅速解决问题．

设计模糊性问题，培养批判性思维

“错误是正确的先导”，由于基础知识不扎实或思维上的偏差，常会出现这样或那样的错误． 对此教师应针对学生常犯的一些隐晦的错误，设计模糊性问题，故意设计问题陷阱，让学生出现暂时性的失败感，主动去分析错误，寻找治“错”良方，在知错中改，改错中防，弥补自己在知识上的缺陷和思维上的缺陷，防止错误认识的再迁移，从而增强思维的严密性和批判性，提高解决问题的准确性．

例2 （1）若a，b，c为任意向量，（a?b）?c=a?（b?c）成立吗？为什么？

（2）比较2+3i和4+3i的大小

（3）等差数列中a2+a5=a7，对吗？

又如：求直线方程时对斜率的讨论，等比数列求和中对公比的讨论等都可设计出模糊性问题，让学生对易错、易忽略的问题引起足够的重视，纠正错误认识，提高记忆的准确性．

设计相关性问题，培养思维动态性

联想是使人由一个事物转移到另一个相关事物上的一种动态思维． 它能在研究和解决有关数学问题时，采用某种方式或手段，将问题转化为相关问题，进而达到解决问题的目的． 通过联想转化，如：数形转化、动静转化、函数与方程之间的转化、代数与几何之间的转化等，可使复杂问题直观化． 在课堂教学中设计相关性问题，可使学生树立相互联系的辩证思想，培养学生的问题转化能力和训练学生的动态思维．

例3 （1）（2007安徽高考）如果点P在平面区域2x－y+2≥0，x－2y+1≤0，x+y－2≤0 上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么PQ的最小值为

（ ）

A． －1 B． －1

C． 2－1 D． －1

（2）（2007浙江高考）设m为实数，若（x，y）x－2y+5≥0，3－x≥0，mx+y≥0 ?哿｛（x，y）x2+y2≤25）｝，则m的取值范围是________．

分析：（1）动静转化；（2）数形转化．

设计逆向性问题，培养逆向思维

在课堂教学中，对问题进行逆向变换，即把问题的已知条件和未知条件进行变换，或将一些数学概念、定理、公式等进行逆向应用． 另外，设计运用分析法、反证法等逆向考虑问题的方法来解决问题，以训练学生的逆向思维，让学生树立“正难则反”的思维方式．

例4 （1）α=β是tanα=tanβ的（ ）条件？

（2）如何由y=sin2x+的图象得到y=sinx的图象？

（3）（2009上海高考）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是________（结果用最简分数表示）．

分析：（1）利用逆否命题的等价性；（2）三角函数图象变换的方式逆向；（3）正难则反．

逆向性问题对锻炼学生逆向思维具有很大的作用，特别是一些关于数学概念的判断题．

设计类比性问题，训练求同归纳思维

问题设计的较高目标是培养学生举一反三的能力． 精心设计问题，将问题分类，把具有共同特征的不同问题归为一类，形成类比性问题，实行多题一解．这样，让学生集中力量解决同类问题中的本质问题，归纳出这类问题的解决方法和规律，从而达到触类旁通的目的，训练学生求同归纳思维．

例5 （1）（2010山东高考）观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（－x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）等于（ ）

A． f（x） B． －f（x）

C． g（x） D． －g（x）

（2）①（2009广东高考）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

②（2007江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆+=1上，则=________．

③（2009北京高考）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2=_________；∠F1PF2的大小为__________．

分析：（1）直接考查归纳思想；（2）通过以上三例可以让学生总结出解决椭圆焦点三角形问题的基本思路：应用椭圆的定义．

通过归类训练，把知识从一个问题迁移到另一个问题上，从而达到举一反三、触类旁通的功效．

设计发散性问题，培养发散性思维

发散性思维是一种沿着不同方向去选取和重组信息，不依常规寻求变异，从多方面寻求答案的思维方式． 它是较为活跃、具有很大创造性的思维方式，数学中的发散性问题对训练学生的发散性思维，提高学生的创新能力起着巨大的作用． 发散性问题设计有以下方式．

1. 一题多变

通过变换题目的条件、题型、要求、情境等，由一题发散成多题，对学生进行一题多变训练，不仅能够强化对基础知识的理解和记忆，而且能够拓宽、深化解题思路，探索解题规律，培养创新能力和思维品质，增强应变能力，从而达到举一反三、触类旁通的目的．

例6 已知椭圆+=1的焦点为F1，F2，在椭圆上求一点P，使∠F1PF2=90°．

变式1 已知椭圆+=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是_________．

变式2 已知椭圆+=1上存在一点P，有∠F1PF2=90°，求m的取值范围．

变式3 （2009上海高考）已知F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且． 若PF1F2的面积为9，则b=____________．

通过一题多变的设计，可以培养学生思维的变通性．

2. 一题多解

对同一问题多角度地探索解题思路，形成一题多解，既能使学生的思维朝着不同方向发散，灵活地运用知识，又能通过比较，选择最合理、最简捷的思路，培养学生思维的灵活性、流畅性． 在课堂问题设计时，教师要有意识地偏重可用多种思路完成的典型题，并鼓励学生不拘泥于常规方法，寻求变异，勇于创新．

例7 求sin220°+cos250°+sin20°?cos50°的值．

分析：本例解法有拆角、立方公式、降次、配方、余弦定理等五种以上的解题思路．

通过一题多解，引导学生运用各种知识，沿不同途径思考问题，通过比较提炼出最佳解法，从而达到优化解题思路的目的．

通过一题多变、一题多解等发散性问题的设计，可以做到对学生一题多测、一题多得，从而发展学生的发散性思维，提高学生的创新意识和创新能力．

设计开放性问题，培养探索性思维

随着素质教育的不断深入，人们开始认识到开放性问题在培养和检测学生创新能力的重要作用． 这类问题立意新颖，构思精巧，自由度大，要求学生自己去研究，去探索，去发现，去解决． 美国心理学家布鲁纳说：“探索是数学的生命线．” 可见，此类问题在数学中的地位和作用．

在课堂教学中，设计出探索条件、探索结论、探索存在等的开放性问题，不仅有利于培养学生的探索能力，而且还能为学生提供广阔的创造性思维空间．

例8 （1）如图2所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD平面PCD． （只要填写一个你认为是正确的条件即可）

（2）（2009广东高考）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12． 圆Ck：x2+y2+2kx－4y－21=0（k∈R）的圆心为点Ak．

①求椭圆G的方程；②求AkF1F2的面积；③问是否存在圆Ck包围椭圆G，请说明理由．

（3）设f（x）=，g（x）=，对于任意的x，y，请化简如下两式：

①f（x）g（y）+g（x）f（y）；②g（x）g（y）+f（x）f（y）． 据此你还能发现什么结论？试写出发现过程．

分析：（1）属于结论不唯一的开放性问题，探索结论；（2）属于存在性问题，探究存在性；（3）属于探究过程（可联系三角函数的和差公式、倍角公式探索之）．

课堂教学中，开放性问题的出现，可激发学生的求知欲望，训练学生的创造性思维和创新能力．

设计一般性问题，培养特殊化思维

数学中，从特殊到一般的思考方式就是先考察问题的某些简单特殊情形，通过对特殊情形的探究，找出一般规律，从而发现解决问题的方法． 加强学生的“特例”意识，就需要在课堂教学中设计一般性问题，让学生通过对一般性问题中的个别特殊情况进行观察和分析，发现问题的结论，从而找到解决问题的途径． 寻找一般性问题的“极端情形”是解决一般性问题的出发点，也是培养学生特殊化思维的关键所在．

例9 （1）（2010陕西高考）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝［x］（［x］表示不大于x的最大整数）可以表示为

A． y= B． y=

C． y= D． y=

（2）过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F，作一直线交抛物线于M，N两点，若FM，FN的长分别是p，q，则+=_________．

（3）设｛an｝，｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，设cn=an+bn，证明数列｛cn｝不是等比数列．

分析：（1）特殊值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B． （2）考虑MN的任意性和结果的唯一性，取抛物线的通径可使问题迅速准确获解． （3）否定一个命题，只需一个反例即可，本例只需证c≠c1?c3．

对于一般性问题的设计就是训练学生在一般性问题中提取不失一般性的特殊信息的能力，从而培养学生的特殊化思维和创新思维．

设计应用性问题，提高数学应用能力

加强数学应用意识是时展的需要，同时也是数学学科的特点所决定的． 设计应用问题，可以发挥数学在实际问题中的应用，提高学生的数学学习的兴趣，使学生受到实际问题抽象为数学问题的训练，形成应用数学的意识，培养学生分析问题、解决问题的能力． 但是设计此类问题时，要注意问题类型、数量化、形式化的抽象程度，问题的难易程度和学生的知识内容范围及能力水平．

例10 （2010湖北高考）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层． 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元． 该建筑物每年的能源消耗费用C（x）（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10）．若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元． 设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

设计信息迁移问题，提高知识迁移能力

信息迁移题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类新题型． 信息迁移题背景新颖，构思巧妙，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体，可以较好地考查学生的学习能力、阅读理解能力、数学思维能力、知识的迁移能力和思维品质．

例11 （1）（2010四川高考）设S为复数集C的非空子集． 若对任意x，y∈S，都有x+y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集． 下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（a，b为整数，i为虚数单位）｝为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S?哿T?哿C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是________． （写出所有真命题的序号）

（2）（2011广东高考）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数． 如下定义两个函数（fg）（x）和（f?g）（x）；对任意x∈R，（fg）（x）=f（g（x））；（f?g）（x）=f（x）?g（x），则下列等式恒成立的是（ ）

A． （（fg）?h）（x）=（（f?h）（g?h））（x）

B． （（f?g）h）（x）=（（fh）?（gh））（x）

C． （（fg）h）（x）=（（fh）（gh））（x）

D． （（f?g）?h）（x）=（（f?h）?（g?h））（x）

（3）（2011年四川理16）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数． 例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数． 下列命题：

①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；

②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；

③若f：AB为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是_________． （写出所有真命题的编号）

分析：（1）定义新概念；（2）定义新运算；（3）定义一类新函数．

设计综合性问题，培养综合逻辑思维

在高三总复习阶段，若能在数学知识网络的交汇点上设计出考查学生多种知识和多种技能的综合性问题，可以培养学生综合运用知识及分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合逻辑思维能力．

例12 （1）（2007北京高考）如图3，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

①求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；

②求面积S的最大值．

（2）（2009山东高考）设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y+2≥0，x≥0，y≥0， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则+的最小值为（）．

A． B． C． D． 4

多年的教学实践使我们深深感到：教师在设计问题上多花一点时间，学生就会少浪费一点时间；设计的问题精一点，学生就会学得活一点，做得好一点． 由此可见：精心设计课堂问题，是发挥学生主体作用，发展学生思维能力，减轻学生课业负担，提高教学效率的有效途径．