溯根求源:统计与概率应用问题的解题策略和方法

寻找正确的解题方法和策略不仅是解题的需要，也是提高自身能力和水平的一个重要方法，对以后解决同类型的问题有着重要的影响.怎样在研读题目时对各类题型的解题思路、方法、技巧和规律进行总结，这是一个亟须解决的问题.下面我们结合统计与概率应用中的实例来展示解题思路的形成过程，谈解题方法的归纳总结及解后反思，便于同学们举一反三，灵活运用.

例1 （2016・四川巴中）下列说法正确的是（ ）

A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件

B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法

C.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定

D.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为[12]

【策略方法】本题涉及随机事件与必然事件、普查与抽查、方差的意义、概率计算等相关知识，由随机事件和必然事件的定义得出A错误，由统计的调查方法得出B错误，由方差的意义得出C正确，由概率的计算得出D错误，即可得出结论.

【解答】A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，应该是随机事件，选项A错误；

B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；

C.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；

D.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为[14]，不是[12]，选项D错误.

【方法总结】本题考查了求概率的方法、全面调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与必然事件，熟悉方法和性质是解决问题的关键.

例2 某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：

请你根据上述内容，解答下列问题：

（1）该公司“高级技工”有 名；

（2）所有员工月工资的平均数[x]为2500元，中位数为 元，众数为 元；

（3）小张到这家公司应聘普通工作人员.请你回答上图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；

（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资[y]（结果保留整数），并判断[y]能否反映该公司员工的月工资实际水平.

【策略方法】本题涉及的知识点有中位数、众数、平均数的意义和特殊数值对平均数的影响，根据相关知识就可以解决上述问题.

【解答】（1）16.

（2）因表中数据是按照从大到小顺序排列，共有50个数据，第25和第26个数据分别为1800和1600，二者的平均数为1700，则所有员工月工资的中位数为1700元，众数则易判断为1600元.

（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平，用1700元或1600元来介绍更合理些.

（4）[y]=[2500×50-21000-8400×346]≈1713（元）.[y]能反映该公司员工的月工资实际水平.

【方法总结】本题考查众数、中位数、平均数的计算及意义，要了解它们在实际应用中的表述方式.

例3 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与民主测评，结果如下表：

规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；综合得分=演讲答辩得分×（1-a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）当a=0.6时，两人的综合得分分别是多少？

（2）分别求出两人的综合得分关于a的函数表达式；

（3）倘若让甲做班长，请你确定a的取值范围.

【策略方法】本题涉及的知识点是加权平均数的计算，利用加权平均数确定得分.

【解答】（1）甲的答辩得分=（90+92+94）÷3=92（分），甲的民主测评分=40×2+7=87（分），

甲的综合得分=92×0.4+87×0.6=89（分）；

乙的答辩得分=（89+87+91）÷3=89（分），乙的民主测评分=42×2+4=88（分），

乙的综合得分=89×0.4+88×0.6=88.4（分）.

（2）甲的综合得分关于a的函数表达式为y1=92×（1-a）+87×a=92-5a；

乙的综合得分关于a的函数表达式为y2=89×（1-a）+88×a=89-a.

（3）若让甲做班长，则92-5a>89-a，解得a

a的取值范围为0.5≤a

【方法总结】会用加权平均数公式进行计算，根据实际情况确定在实际问题中的权重.

例4 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；

（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？

（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.

【策略方法】本题要熟悉概率的意义、概率的计算方法、根据概率估计样本中个体的数目.

【解答】（1）观察表格得摸到白球的频率将会接近0.6；

（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；

（3）20×0.6=12，20×0.4=8，黑球8个，白球12个；

（4）①先从不透明的口袋里摸出a个白球，都涂上颜色（如黑色），然后放回口袋里，搅拌均匀；②将搅匀后的球从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回袋中，不断大量重复n次，记录摸出黑球频数为b；③根据用频数估计概率的方法可得出白球数为[anb].

【方法总结】概率意义和概率的估算是有区别的，知道概率意义还要了解它在实际问题中的应用，要能在实际问题运用中应用概率相关知识进行解读和估算.

解题策略和方法是我们在解题实践中要仔细感悟的，研读题目，联想知识，思考方法，体会策略，只要我们坚持不懈做下去，我们在解题能力上一定会有很大的提高.

（作者单位：江苏省淮安曙光双语学校）