基于Fisher判别法的采空区塌陷预测模型及其应用
时间：2022-09-04 06:37:37
摘要：基于fisher判别分析理论，在分析影响矿区采空区塌陷危险性因素的基础上，初步选取影响矿区采空区塌陷危险性因素的7个因子作为矿区采空区塌陷危险性预测的判识指标，以近年来发生在北京某地区的17个矿区采空区塌陷的典型案例作为学习样本，建立了北京西山某地区矿区采空区塌陷预测预测的Fisher判别分析模型，并选用其他7个待检样本对判别模型进行验证。结果表明，该模型预测结果与实际情况一致，采用回代估计法所得的误判率很小。因此，选取这7个因子来反映矿区采空区塌陷危险性状况和应用Fisher判别法预测矿区采空区塌陷危险性具有良好的实用性和有效性。
关键词：Fisher判别分析法;采空区;塌陷危险性;预测模型
1.引言
近年来由于地下开采引起的地表塌陷问题对矿区周边的环境和人民生产财产都造成了很大的破坏和损失。在采矿工程领域，采空区塌陷问题也是专家学者研究的重要课题之一，
对于矿区采空区塌陷危险性的预测，不同学者分别从模拟试验、现场观测和应用理论等方面进行了不同深度的研究工作[1]。
2. Fisher判别分析理论
2.1基本思想[2]
Fisher线性判别分析理论（FLDA）最早是由Fisher提出的一种解决两类问题分类的理论方法。其基本思想就是首先根据最大化类间离散度最小化类内离散度的原则，然后确定原始向量的投影方向，尽可能使训练样本投影到该方向时各类之间最大程度地分离，从而达到正确分类目的的一种判别分析理论。
2.2计算步骤[2]
假设有2个总体、，从第1个总体中抽取个样品，从第2个总体中抽取个样品，每个样品观测p个指标。其基本步骤如下： （1）计算这两个总体样本的平均值
（1） （2）分别计算这两个总体样本的协方差矩阵以及总样本的协方差矩阵
（2）
（3） （3）判别函数模型的建立
其Fisher判别函数模型中的系数，，…，一般可以通过公式（4）求得：
（4） （4）计算判别中心临界值（判别函数值）
通常常取为和的加权平均值作为其判别的中心临界值，如公式（5）所示，其假设成立的前提条件是这两个总体样本的先验概率都相等。
（5）
其中：;。 （5）判别函数模型的检验
为了检验所建判别模型的优劣性，具体可以通过以17组学习样本为基础的回代估计法来计算误判率，以此来评价所建Fisher判别模型的优劣性。其检验判别式为： （6）
式中：―将属于第一类（）的样本误判为第二类（）的个数;―将属于第二类（）的样本误判为第一类（）的个数。
3.矿区采空区塌陷危险性预测的Fisher判别模型
本文以参考文献[3]中所提供的北京西山某地区采空区塌陷资料作为学习样本，对采空区塌陷危险性的判别指标及判别模型进行分析研究。
3.1判别指标的选取
影响矿区采空区塌陷的因素有很多，根据现场实际观测以及参考相关研究成果，经过综合分析后，初步选定采空区上方覆岩和松散层的类型（X1）、采空区上方覆岩和松散层的厚度（X2）、矿区地质构造发育的程度（X3）、煤层倾角的大小（X4）、形成采空区的体积率（X5）、采空区距离地表的垂直深度（X6）以及采空区的空间叠置层数（X7）等7个因子作为该判别模型预测的判识指标。
在以上7个判别指标中X1和X3为定性指标，而其余5个为定量指标。对定性指标的量化原则是，按其影响采空区塌陷的危险程度予以赋值，如果不易发生采空区塌陷，则赋予的值就比较小，反之则比较大，则可以由低到高依次赋予的值为1、2和3。而对于定量指标则可以按照实测的数据进行分析。
3.2判别模型的建立
以参考文献[3]中所提供的北京某地区采空区塌陷资料为例，对采空区塌陷危险性的预测进行分析，选择前17个采空区塌陷工程实例作为学习样本，其余7个采空区塌陷工程实例作为待判样本进行判别检验，并将矿区采空区塌陷危险性等级分为安全（1类总体）和危险（2类总体）两个大类，分别标示0和1加以区别。
通过对北京某地区17个矿区采空区塌陷危险性预测的工程实例的分析，按照上述Fisher判别分析方法的计算步骤，应用SPSS统计分析软件进行相关计算，得到了为标准化的Fisher判别函数系数，建立了矿区采空区塌陷危险性预测的Fisher判别模型。 （9）
通过计算，矿区采空区塌陷安全（0）与危险（1）两类总体的中心值分别为1.888和C1.678。由此，可以通过比较待判样本判别函数值与这两类总体的中心值的距离来判别新样本分别归属哪一类总体。
3.3判别模型的检验和应用
根据已建立的Fisher判别分析模型，对17个矿区采空区塌陷危险性的学习样本利用回代估计法（公式8）计算误判率。从表1中可以看出，学习样本的判断完全正确，证明了所建立的判别模型是稳定、合理的;并利用上述所建的Fisher判别模型对剩余7个待判样本进行判识，7个待判样本的判识结果与实际情况完全相符（见表2），说明应用该判别模型对矿区采空区塌陷危险性的预测具有良好的适用性和有效性。
此外，表1和表2中分别列出了利用Bayes判别模型[3]和神经网络模型 [4]判别的结果，从中可见本文建立的Fisher判别模型与以上两种判别模型预测结果一致。但是与神经网络方法相比，本文提出的方法不受人为因素的影响，避免了神经网络在算法上具有的收敛速度慢、目标函数存在极小值点等问题。
表1 Fisher判别分析法判识结果比较
Table1 Results based on Fisher discrimination analysis method
学习
样本
判别指标
判别结果
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
实际
结果
Fisher
模型
Bayes
模型
神经
网络
1
3
7.5
2
28
18
10.4
3
2
3
11.5
2
45
14
22
3
3
2
14.5
3
55
11
16
3
4
3
12.5
3
55
11
14.5
4
5
3
15
2
50
10
17.5
3
6
2
15.5
1
35
5
18.2
1
1
1
1
1
7
1
12
2
40
7
25
2
1
1
1
1
8
3
17
3
80
20
20.2
2
9
2
12
3
50
10
13.5
3
10
3
14
3
70
15
16.7
2
1
1
1
1
11
3
13.5
2
50
1.5
15.4
3
1
1
1
1
12
2
19
2
35
6
26
1
1
1
1
1
13
1
10
2
50
4
22.5
2
1
1
1
1
14
2
15
2
40
2
16.5
1
1
1
1
1
15
2
10
2
45
2.5
16.4
1
1
1
1
1
16
2
15
1
25
5.5
30
2
1
1
1
1
17
3
9.5
3
75
12
12.7
3
表2 预测样本结果表
Table2 The forecasting samples of underground goaf collapse
预测
样本
判别指标
判别结果
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
实际
结果
Fisher
模型
Bayes
模型
神经
网络
1
3
7.5
2
28
18
10.4
3
2
3
11.5
2
45
14
22
3
3
2
14.5
3
55
11
16
3
4
3
12.5
3
55
11
14.5
4
5
3
15
2
50
10
17.5
3
6
2
15.5
1
35
5
18.2
1
1
1
1
1
7
1
12
2
40
7
25
2
1
1
1
1
4.结论
（1）将Fisher判别分析法应用到矿区采空区塌陷危险性的预测中，在综合考虑影响采空区塌陷危险性因素的基础上，初步选取7个因子作为判识指标，利用发生在北京某地区的工程实例，建立了Fisher判别函数模型。经模型检验及实例计算结果证明，Fisher判别方法具有计算过程简单、模型结构稳定、可操作性强及预测精度高等优点，为采空区塌陷的预测问题提供了一条新的途径。
（2）该预测模型是建立在有限的采空区塌陷学习样本基础上的，其预测结果的准确性受样本的数量及代表性的影响，应在后续的研究中，广泛收集采空区塌陷的工程实例，增大学习样本的容量，提高其代表性和准确性，进一步完善和改进采空区塌陷预测的Fisher判别模型。
参考文献
[1] 王晶，张建州，范庆荣， 等. 综合物探技术在整合煤矿复杂采空区勘探中的应用[J]. 煤矿开采， 2012，17（4）：21-23.
[2] 何晓群.多元统计分析[M].北京：中国人民大学出版社，2011.92-94.
[3] 宫凤强，刘科伟，李志国.矿区采空区塌陷危险性预测的Bayes判别分析法[J].采矿安全与工程学报，2010（3）：30-34，39.
[4] 慎乃齐，杨建伟，郑惜平.基于神经网络的采空区塌陷预测[J].煤田地质与勘探，2001，29（3）：42-43.
