学好集合, 打好基础

集合是高中数学的基础，也是高中数学的工具。但刚从初中升上来的高一学生，面对集合这一抽象的概念时，往往理解不透，认识不深刻，而正是这种认识上的不深刻性，往往使学生在解决有关集合问题时缺乏严谨性。我在教学实践中总结出，在集合这一章的教学中如果能注意以下几个问题，就可以使学生较好地掌握集合的概念，并为今后的学习打下良好的基础。

一、立足基础，抓住元素的“三特性”

集合元素有三个性质：确定性、互异性和无序性。特别是元素的互异性，它常常被学生在解题中忽略，从而导致解题失败，所以必须要牢记。

例1：若A={2，4，a-2a-a+7}，B={1，a+1，a-2a+2，-（a-3a-8），a+a+3a+7}，若A∩B={2，5}，试求实数的值.

解析：由A∩B={2，5}知5∈A，由a-2a-a+7=5解出a，代入B检验.

解题过程：A∩B={2，5}，a-2a-a+7=5，由此求得a=2或a=±1.

当a=1时，a-2a+2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去.

当a=-1时，得到B={1，0，5，2，4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故舍去.

当a=2时，A={2，4，5}，B={1，3，2，5，25}此时，A∩B={2，5}，符合题意.

a=2即为所求.

注：此类问题提醒我们思维一定要严密，很好地体现了数学的严密性。

二、空集的特殊性及其特殊作用

空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。在解决含有空集参与的集合问题时，其特殊性往往被学生忽略，从而引发解题失误。

例2：集合P={x|x-3x+b=0，x∈R}，Q={x|（x+1）（x+3x-4）=0，x∈R}，

（1）若b=4，存在集合M使得P?芴M?芴Q，求出这样的集合M；

（2）P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由.

解析：（1）当b=4时，方程x-3x+b=0的判别式Δ=（-3）-4×1×4，即方程x-3x+b=0无实数根，故P=?，且Q={-4，-1，1}.

由已知条件得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{-4}，{-1}，{1}，{-4，-1}，{-4，1}，{-1，1}.

（2）①当P=?时，P显然是Q的一个子集，此时Δ=9-4b＜0，b＞.

②当P≠?，Q={-4，-1，1}，假设存在的话，则有以下三种情况：

若-1∈P时，把-1代入方程x-3x+b=0，即得b=-4，则P={4，-1}.4?埸Q，P不是Q的子集；

同理，若-4∈P时，此时P={7，-4}，也不是Q的子集；

若1∈P时，此时P={1，2}，也不是Q的子集.

综上所述，b的取值范围为b|b>.

注：此题不仅考查了学生对空集特殊性的掌握情况，而且包含了分类思想。

三、数形结合与集合交、并、补运算

集合的常见运算有交、并、补这三种，它是第一章的核心内容之一。在进行集合的交集、并集、补集运算时，对于难以通过直接法得出结果的问题，借助数轴工具或Venn图，即可将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一。

例3：已知集合A={x|-2＜x＜-1或x＞0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞-2}，求a、b的值.

解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图1所示，由A∩B={x|0＜x≤2}知b=2且-1≤a≤0；由A∪B={x|x＞-2}，知-2＜a≤-1，综上：a=-1，b=2.

注：解决关于不等式形式的集合问题时，常借助于数轴工具，形象、直观。但必须强调空心点、实心点。

例4：期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.问：上述两门学科都优秀的百分率至少为多少？

解析：此题可直接解，但如果从集合角度来看这个问题，就要用到Venn图了.不妨设总人数为100，则用Venn图分别表示数学优秀人数和语文优秀人数.

由图2显见，设两门学科都优秀的人数为x，则必有70+75-x≤100，所以x≥45，即两门学科都优秀的百分率为45%.

注：通过Venn图，可以解决同时满足两个条件的应用题，甚至还可以是三个条件都满足的与实际生活相结合的问题。

四、分类讨论思想在解决集合问题中的应用

利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题。这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多知识点，有利用对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要一定的分析能力、一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对学生能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系。

解分类讨论问题的实质是把整体问题化为部分来解决，化成部分后，也就增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想，在分析集合所含元素的情况时，常常会涉及到分类讨论思想。

例5：已知集合A={x|ax+2x+1=0，a∈R}，

（1）若A中只有一个元素，求a的值；

（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.

解析：（1）应根据a是否为0分两种情况进行讨论：

①a=0，此时A={-}，符合题意；

②a≠0，则必须且只须Δ=4-4a=0，即a=1.

a=0或a=1.

（2）A中至多只有一个元素，包括两种情况：

①A中只有一个元素，由（1）知a=0或a=1；

②A中没有元素，此时应有a≠0Δ=4-4a＜0，得a＞1.

a的取值范围是{a|a≥1或a=0}.

注：①在处理二次项系数含有参数的方程时，一定要有分类讨论的意识；②对于分类讨论后的字母取值，一般取其并集。

综上所述，集合问题的难度虽然不大，但综合性较强、解法灵活。解题的关键在于针对问题的结构特点，选择恰当的解题策略，有时还需要多种策略融为一体，共同发挥作用。只有在教学中牢牢抓住这几点，才能使高一学生分析问题、解决问题的能力大大提高，为今后的学习打下扎实的基础。

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