对由参数方程所确定的函数的求导法的教学改进

摘 要 由参数方程所确定的函数的导数是高等数学教学中的一个重点也是难点。针对教学过程中学生出现的问题，分析了其原因，提出了新的教学思路，经对比发现新的教学思路能有效地提高学生解题的正确率，化解学生学习中的难点。

关键词 参数方程 求导法 高阶导数 教学思路

中图分类号：G424 文献标识码：A

一元函数的导数是高等数学的主要内容，学生能否掌握一元函数的求导直接影响到后面知识的学习。由参数方程所确定的函数的导数是教学中的一个重点也是难点，特别是由参数方程所确定的函数的高阶导数，学生学起来普遍感到困难，做题时，往往容易犯错。笔者结合自己多年来的教学经验，谈一谈对这一部分内容的教学改进。

1 由参数方程所确定的函数的导数

如果参数方程

（1）

确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（1）所确定的函数。

对于由参数方程所确定的函数一阶导数及高阶导数的求法，大多数常用的《高等数学》教材①②中采用如下的处理方式：

设参数方程（1）确定函数 = （），且（），（）在（）上可导，（）≠0，函数 = （）具有单调连续反函数 = （），且此反函数能与 = （）构成复合函数，那么由参数方程（1）所确定的函数可以看成由 = （）， = （）复合而成的函数。利用复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有

2 原有的教学思路

在以前的教学中，通常采用如下的教学思路：首先讲解一阶求导公式（2）的推导过程，然后求高阶导数时一再强调是对求导，所以求高阶导数时，仍需利用复合函数的链式求导法则，先对求导再乘以对的导数，即

= （）= （）・

从而推导出公式二阶求导公示（3）。按照这样的思路讲解后，发现学生对由参数方程所确定的函数的一阶导数掌握得还可以，但求高阶导数时总容易出现下列的错误解法。

例1 设确定是的函数。求，。

有些学生的解答如下：

很显然，上述解答中二阶导数求解是错的，正确的解答应该为

通过作业发现，犯这种错误的学生还比较多。细究其中的原因发现学生对前面刚学习的复合函数的链式求导法则与反函数的求导法则掌握欠佳，这样直接导致对求导公式（2），（3）的推导不理解。但因为一阶导数有简洁的求导公式（2），学生容易记住。尽管有的学生可能一时还不理解公式（2）的由来。但只要记住了公式，就能求出一阶导数。而求二阶导数虽然有公式（3），但比较复杂，不易理解。而且学生只是认为求二阶导数就是对一阶导数再求一次导，却忽略了对谁求导的问题，从而导致了求二阶导数的错误做法。

3 新的教学思路

在发现学生在学习过程中存在的问题并对其原因进行分析后，决定改进以前的教学思路，采取如下的教学过程：

第一步，仔细讲解一阶求导公式（2）的推导过程，并选几个例题让学生熟悉并牢记一阶求导公式（2）；

第二步，引导学生明白既然是的函数，那么它的一阶导数也应该仍是的函数。但从前面的例题的结果中发现中的变量仍为，比如例题1中 = 。事实上，一阶导数仍是由参数方程所确定的函数，所以，应该表示为

（4）

第三步，既然一阶导数是由参数方程（4）所确定的函数，而求二阶导数就是一阶导数再对求导。故只需要再一次使用由参数方程所确定的函数的一阶求导公式（2），便可得到二阶求导公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由参数方程所确定的函数的二阶求导公式，与其一阶求导公式在形式上是一致的。

例2 设确定是的函数。求。

解： = = =

因为仍然是参数方程，故

= = = =

按照这种方式讲解以后，学生就很少犯例题1解答中那样的错误。而且这样讲解的好处是不仅使二阶导数的求导变得简单直观、容易理解， 而且对于更高阶导数也是如此。

与二阶求导公式类似，我们有

=

例3 在例题2中，求。

解： =

=

=

=

从以上可以看出，在新的教学思路下，由参数方程所确定的函数的高阶导数的求法变得很直观。只要理解和记住了一阶求导公式，那么求任意阶导数都迎刃而解。

4 结论

原有的教学方法，在求由参数方程所确定的函数的高阶导数时，部分学生很难理解，做题时容易易犯错。自从采用新的教学方法后。从上课时学生的表情上就可以看出学生容易理解，而且做题时不易犯错。解决了学生学习中的一个难点，为后继课程的学习打下了良好的基础。