合情推理(归纳推理)教案

一、教学目标

结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理的含义，

能利用归纳方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在教学发现中的作用。

二、教学重点、难点

能利用归纳法进行简单的推理。

三、教学方法与手段

多媒体演示，互动实验。

四、教学过程

师：在生活中，我们经常需要去探索、了解未知的事物，比如，我这有个口袋，如果想知道里面有什么，应该怎么做呢？

互动实验：

道具：一袋乒乓球。

过程：教师拿着袋子，学生一次摸一个，摸完贴在黑板上，摸了三次后，请学生作出一个归纳推理，然后，重复操作。

（教师先摸两个，摸完贴在黑板上，然后请三个学生依次摸球，并将摸出的球贴在黑板上，摸出的均是黄色乒乓球。）

师：你能做出什么样的猜想呢？

生：袋子里都是黄色乒乓球。（板书）

师：请你说说，你是怎么得到这个猜想的？

生：……

师：“第一次摸出的是黄色乒乓球”这是一个已知命题，“第二次摸出的是黄色乒乓球”这也是一个已知命题，从这几个已知命题我们得出了一个新命题“袋子里都是黄色乒乓球”，那么，我们把这种从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。（投影并板书）

师：我们继续来做实验。

（继续请三个学生摸球并贴在黑板上，此时摸出白色乒乓球。）

师：现在我们又增加了新的已知命题，你能给出什么样的推理？

生：……

师：那么，在一般的数学活动中，我们怎样进行推理？我们先来欣赏几个案例：

（投影）

案例1：

前提：狗是有骨骼的，

鸟是有骨骼的，

鱼是有骨骼的，

蛇是有骨骼的，

青蛙是有骨骼的，

狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物。

结论：所有的动物都是有骨骼的。

案例2：

前提：矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和。

结论：长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和。

案例3：

前提：所有的金属都能导电，铜是金属。

结论：铜能导电。

师：上述3个案例是不是推理？是不是同一种推理？各有什么特点？

生：……

师：还有吗？

生：都有前提和结论。

师：任何推理都包含前提和结论两个部分。（板书）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么。那么，这3个推理案例又有哪些不同点呢？

生：案例1是从特殊到一般，案例3是从一般到特殊……

师：很好。我们再看3个推理实例。

（投影前提，结论由学生回答）

1.前提：金、银、铜、铁能导电，

金、银、铜、铁是金属。

结论：金属能导电。

2.前提：三角形的内角和是180°，

凸四边形的内角和是360°，

凸五边形的内角和是540°，

三角形、凸四边形、凸五边形都是凸n边形。

结论：凸n边形的内角和是（n-2）×180°。

3.前提：当n=0时，n2-n+11=11，

当n=1时，n2-n+11=11，

当n=2时，n2-n+11=13，

当n=3时，n2-n+11=17，

当n=4时，n2-n+11=23，

当n=5时，n2-n+11=31，

11，11，13，17，23，31都是质数。

结论：对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数。

师：这些值有什么特点？

师：在上述案例中，你能发现什么？（它们都有什么共同点？）

生：特殊现象推出一般结论。

师：这就是我们今天要研究的归纳推理。（板书课题）

师：我们经历了怎样的推理过程？

生：刚才我们通过实验、观察，概括、推广，猜测出一般性的结论（边说边投影），它们都是从个别事实中推演出一般的结论（板书），像这样的推理通常称为归纳推理。

师：现在你对归纳推理有了一定的了解，你能不能再举几个例子呢？

学生讨论举例。

师：请你把所举例子的前提写下来，然后让你的同桌来写结论。

学生写推理案例，此时教师打开实物投影仪，并挑选部分学生的例子展示。

在展示过程中，可问：这是不是归纳推理？

师：同学们已经举了很多例子，接下来我们来看两道例题。

例1.已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a2n+1（n=1，2，…）试归纳出数列{an}的一个通项公式。（板书解答）

师：an= 对吗？我们经历了怎样的推理过程？

例2.

4=2+2

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

请填空16= + = + ，

18= + = +

由此，请猜想：

师：有没有同学听说过这个猜想？这就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1。1742年，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出了这一猜想，欧拉经过艰苦的努力也未能证明这个结论。1966年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过两个质数的乘积之和”（简称1+2），这一结论十分接近哥德巴赫猜想的解。但是，至今还没有人能完全证明这个命题，这个著名的猜想还等待我们在座的各位去证明。

师：我们再来看一个问题。

介绍费马猜想（结论是错误的）。

例如，法国数学家费马观察到

22 +1=5，

22 +1=17，

22 +1=257，

22 +1=65537，

都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如22 +1（n∈N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪之后，善于计算的欧拉（Euler）发现，第5个费马数F5=22 +1=4294967297=641×6700417不是质数，从而了费马的猜想。

师：后来人们又发现，22 +1，22 +1，22 +1都是合数，运用归纳推理，你又能得出什么样的结论？

生：……

继续摸球实验：

师：我们的摸球实验还留下一个问题：“袋子里面都是球”这个猜想是否正确呢？可以怎么来验证呢？

生：把袋子里的东西全部摸出来。

此时，将球全部摸出，说明“袋子里面都是球”这个猜想是正确的。

师：像这样通过对某类事物中的每一个对象的考察，从中概括出关于该类事物的一般性结论的推理称为完全归纳法。

师：我们来回顾一下今天的归纳推理过程。请同学们来说说你们的收获。

1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。

2.由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验。因此，它不能作为数学证明的工具。

3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

五、课堂练习

1.观察下列式子：

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

……

根据上面给出的数塔猜测：123456×9+7的值是多少？

2.下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有 点。

作者简介：姚婷，女，1986年11月出生，本科（南京师范大学毕业），任职于南京市第三高级中学，任教学科：数学。