体外预应力混凝土简支梁频率研究

摘要：通过对混凝土简支梁的动力试验表明：预应力混凝土简支梁的固有频率随预应力增加而增大，这与基于经典理论模型得出的轴力作用下简支梁频率变化结果相反。本文基于Timoshenko梁理论[1]，考虑剪切变形和转动惯量对频率影响，推导出轴力作用下简支梁频率公式，并进行刚度修正。理论值与试验值对比分析表明：一阶频率试验值基本不随预应力变化；二阶频率试验值随预应力增大而增加，与理论公式符合较好；三阶频率受外界因素影响较大，适用性较差。

关键词：动力；频率；Timoshenko；刚度

引言：目前，大量的预应力结构在长期服役过程中不可避免出现损伤，预应力筋中有效应力降低等状况，影响结构安全。因此，必须对这些结构进行健康诊断，通过动态检测评估结构安全性成为工程界常用方法。

1.动力试验

1. 1 试验概述

本次试验在内蒙古科技大学结构工程实验室制作1根矩形截面体外预应力混凝土简支梁，体外筋为直线型，无偏心距，采用两根1860级钢绞线，公称截面积为139mm2，弹性模量Es=1.95×1011N/mm2;梁截面尺寸为b×h=160×320mm,梁全长4000mm，计算跨度为3700mm，混凝土强度等级为C60, 弹性模量Ec=3.55×1010N/mm2；普通钢筋中上部架立筋采用2A8，下部钢筋为2C12，箍筋为A8@200。

试验所用的主要仪器材料：混凝土应变片（型号BX120-80AA），钢筋应变片和钢绞线应变片（型号BX120-3AA）、位移计、加速度传感器、电脑、DASP振动测试分析系统，DH3816应变测量系统等

钢绞线最大控制张拉力为180kN,钢绞线应变片贴在沿着钢丝线缠绕方向中点处，混凝土应变片贴在跨中和三分点处梁底和两侧各一片，位移计布置在梁两端、三分点和跨中。

2. 测量结果及分析

表1简支梁前三阶频率试验值

拉力kN 一阶频率Hz 二阶频率Hz 三阶频率Hz

0 35.66 134.08 347.32

40 35.25 131.43 327.47

80 35.66 132.02 332.82

120 35.25 132.89 339.32

160 35.25 133.27 342.77

180 35.25 133.44 342.77

从表1得出：简支梁一阶频率基本不受轴向力影响，二阶和三阶频率随轴力增加而增大，阶序越高，受轴力影响越明显。

2.理论分析

从图中梁的微元段可以看出，梁在振动过程中既有平动又有转动，梁的转角为 ，则转动角速度为 ，角加速度为 ，y方向的惯性力为 ，沿弯矩方向的惯性力矩为

根据达朗贝尔原理和梁微元段力矩平衡得梁在轴向力作用下运动学方程：

（1）

（2）

梁的总位移y包括梁弯曲变形产生的位移 和剪切变形产生的位移 两部分，梁的转角方程为：

式中 为忽略剪力时弯曲变形转角， 为横截面绕中性轴产生的剪切转角

根据材料力学中初等弯曲理论，得弯矩和剪力方程

（3）

（4）

式中，E为弹性模量，G为梁的剪切模量，K为梁截面的剪切系数，对于矩形截面取K=5/6

由于 ，式中P和e为轴向力和偏心距， ，

将式（3）和（4）带入式（1）和（2），化简得轴向力作用下梁的振动微分方程：

（5）

由于简支梁的振型是随x和t变化的正弦函数，设简支梁振动位移方程为

式中，i =1 , 2 , 3…n ,为梁振动的振幅， 为梁的计算跨度， 为梁振动频率， 为相位角。

（6）

式中i=1,2,3… ，N为轴向力， l 为梁的计算跨度， 为梁线密度。

上式为Timoshenko梁在轴力作用下频率公式，其中 为基于Bernoulli-Euler梁[2]理论模型的简支梁频率计算公式，由公式看出基于Timoshenko梁理论计算简支梁自振频率比Bernoulli-Euler梁理论计算出的频率小，这主要由于考虑剪切变形和转动惯量后增加量的广义质量，导致频率降低；简直梁的自振频率随轴力增加而减小，这与试验结论不符，需要做进一步研究。

经典理论模型是假设材料为匀质线弹性，弹性模量不随轴向力变化，而混凝土为弹塑性材料，梁内部有初始微损伤[3]，与理想假设不符，截面惯性矩随着梁振动变化，因此需对梁抗弯刚度修正。本文引入华中科技大学教授张耀庭[4]等人提出的刚度修正公式 对公式（6）中刚度EI修正，将计算结果与试验结果进行对比分析：

表2简支梁前三阶频率计算值及对比分析

拉力kN 一阶频率Hz 二阶频率Hz 三阶频率Hz

理论值 误差率 理论值 误差率 理论值 误差率

0 36.16 1.40% 143.37 6.93% 302.86 12.80%

40 36.22 2.75% 143.43 9.13% 302.92 7.50%

80 36.28 1.74% 143.50 8.69% 302.97 8.97%

120 36.35 3.12% 143.56 8.03% 303.04 10.69%

160 36.41 3.29% 143.62 7.77% 303.09 11.58%

180 36.45 3.40% 143.65 7.65% 303.12 11.57%

误差率=ABS（理论值―实测值）/实测值×100%

从表2看出公式经过刚度修正后的频率随轴力增加而增大，与试验结果变化趋势相符；一阶频率误差率很小，但试验值不随轴力变化，无法体现轴向力对频率的影响，不具有适用价值；二阶频率误差率不超过10%，体现频率随轴力变化规律，在工程中有一定的参考价值；三阶频率误差率较高，测得频率更容易受外界干扰而失真，没有研究意义。

综上，简支梁的一阶频率很难受外界影响，基本不随轴力变化；二阶频率理论值与试验值误差较小，经过刚度修正后的公式具有较好的适用性；三阶频率容易受外界因素干扰，与理论值误差较大，还需做进一步研究。

参考文献

[1] 铁摩辛柯 S, 扬 D H, 小韦孚 W. 工程中的振动问题.胡人礼译. 北京:人民铁道出版社

[2] 唐友刚.高等结构动力学[M].天津大学出版社,2002.

[3] 熊辉霞，张耀庭，司马玉洲.基于损伤理论的预应力混凝土梁弹性模量分析，工程力学，2010，S2

[4] 张耀庭，汪霞利，李瑞鸽.预应力梁固有频率的试验研究.华中科技大学学报， 2007,35（2）：12―15

注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。