巧用“数学思想方法”解决数学问题

“数学思想方法”是指从某些具体数学内容和对数学的认识过程中提炼、概括出来的对数学知识的本质认识，它提示了数学发展的普遍规律，对数学发展起着指引方向的重要作用。数学思想方法是数学的“灵魂”和“精髓”，在数学中居于核心地位，具有深远的教育意义。因此，数学教学要深入到数学的“灵魂深处”，让学生学好数学、用好数学，即学习数学不仅要学习数学知识内容，而且要学习数学的精神和思想方法。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》进一步要求，在小学数学教学中应结合教学相关内容，向学生渗透分类、转化、数形结合、归纳、集合、方程等基本数学思想方法，促进学生对数学知识的理解和数学能力的发展，为今后进一步学习和工作打下良好的数学基础。笔者结合自己在解决问题教学中的实践与探索，对以下四种数学思想方法的运用进行简要阐述。

一、巧用“反证法”，培养逆向思维

反证法是间接证明的一种基本方法。当需要证明一个判断为假时，先假设这个判断为真，经过正确的推理，最后得出矛盾，说明假设错误，从而证明原判断应为假，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，是指两个互相矛盾的判断不可能同真，其中必有一假。

如，一个三位数减去一个两位数，差一定是两位数（见人教版小学数学三年级指导丛书上册第63页）。刚从二年级升入三年级的学生缺乏理性认识，逻辑思维与逆向思维存在一定的局限性，所以往往误以为这一数学命题言之有理。学生对这一命题判断得真与假，关键在于对“一定”含义的理解。一个三位数减去一个两位数，差可以是两位数，但“一定”就肯定了差是两位数的结论是唯一的。课堂上可以巧用“反证法”来解决问题。

师：差可以是一位数或是三位数吗？请同学们举例验证、交流。

生1：差可以是一位数，如：100-99=1。

生2：还可以是三位数，如：999-99=900。

众所皆知，否定一个猜想往往比肯定一个猜想简单。学生经历逆向思辨，能举出一个否定命题结论的例证就能判断命题为假。不但理清了学生解决问题的逻辑，而且培养了学生的逆向思维能力。

二、巧用“变与不变思想方法”，发展多向思维

抓住“不变的量”，是解决问题的一种有效方法，也是一种数学思想。教师应以教材为本，认真研究，一边抓“不变”现象中“变”的规律，另一边抓“变”现象中“不变”的本质，让学生更好地学习数学，掌握数学本领，提高解决数学问题的能力。

如，小马虎在计算一道加法题时，把十位上的“5”看成“3”，把个位上的“6”看成“9”，结果是784。正确答案应该是多少。（见人教版小学数学三年级指导丛书上册第66页）。

小学生凭借已有的知识经验形成直观的解题思维是：已知一个加数和另一个加数，求和是多少用加法。题目中在没有直接给出一个因数和另一个因数的情况下，为学生设置了“把十位上的5看成3，把个位上的6看成9，和是784”这样一个思维的“拦路虎”。如何求出一个加数和另一个加数是解决问题的关键。巧用“变与不变”的思想方法，对发展学生多向思维，有效解决问题能起到意想不到的成效。

师：小马虎把十位上的“5”看成“3”，把个位上的“6”看成“9”，他看成的这个数是多少？

生1：39。

师：39和另一个因数相加的结果是784，同学们能得出另一个 因数吗？算一算。

生2：另一个因数是784-39=745。

师：根据题意可以得出一个加法算式：39+745=784。

请仔细思考：在这个算式中，一个因数、另一个因数、和，这三个数谁在变，谁不变。

生3：39在变，745不变。

生4：39在变，和也在变。

师：如果小马虎不马虎的话，一个因数39原来是多少？

生：56。

师：那么另一个因数745不变，可以得出和的正确结果吗？请列式并计算出结果。

生5：56+745=801。

在解决问题中引导学生巧用“变与不变”的思想方法，训练学生多向、多边思维，甚至是全方位思维，使数学问题解决水到渠成。

三、巧用“数形结合思想方法”，促进形象思维

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化，使繁难的数学问题简捷化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维就能够解决，有利于促进学生抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题方案。

如，教学分数乘以分数。以■×■为例，可以做如下教学设计。

师：■表示什么？请同学们到黑板上以长方形为实物标画出■。

生1：（上台板演图示）■表示把长方形平均分成5份，其中的1等份表示■。

师：■的■在图上怎么表示，在纸上画一画，说一说■×■的含义。

生2：把长方形的■平均分成2等份，其中1等份就是■的■，用乘法算式表示：■×■。

生3：把长方形看作单位“1”，■×■还可以表示把它平均分成10等份，其中的1份就是■。

师：■×■就等于■，是根据怎样的算理来计算的呢？

生：■×■分母相乘作分母，分子相乘作分子，即■=■。

通过画出长方形实物的■的■是怎么表示的，让学生进一步深入感知■与■相乘是分母相乘作分母，分子相乘作分子的算

理。学生也就在数形结合中直观、深刻地明白了■×■所表示的意义是自己身边一种看得见、摸得着、感受得到的实物，既培养了学生的数感，又促进了学生形象化思维的发展。

四、巧用“分类思想方法”，提高分析思辨能力

人们面对比较复杂的问题，在无法通过统一研究或者整体研究解决时，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。

小学四年级学生空间想象能力正处于发展阶段，对“同一平面”空间观念的理解还处于似懂非懂、模棱两可的状态。如，教学“在同一平面内两条不相交的直线相互平行”（见人教版小学数学四年级教材《垂直与平行》），可以为学生创设情景，巧用分类思想方法进一步增强学生对“同一平面”这一空间观念的理解。

师：一张桌子上方有两根小棒同时落下，可能发生几种情况（如下图）。

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生1：两根小棒都落在桌子上面。

生2：一根落在桌子上面，一根落在地上。

生3：两根都掉在地上。

如下示意图：

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师：请同学们对上述三种情况进行分类，说说分类的标准。

生4：可分两类：把图（1）、图（3）两种情况归为第一类，因为两根小棒都掉在桌面、地面上。图（2）归为第二类，因为小棒一根掉在桌面上，一根掉在地面上。

师：这两类，小棒落下后在位置上有什么区别？

生5：图（1）、图（3）掉下的两根小棒同在桌面或同在地面上，而第二类的两根小棒一根在桌面上，另一根在地面上。

师，正确定义“同一平面”：像图（1）、图（3）掉下的两根小棒同在桌面或地面上，就叫两根小棒在落在同一平面内。像图（2），小棒一根掉在桌面上，一根掉在地面上，叫做两根小棒落在不同的平面内。

师拓展提升，举一举生活中“在同一平面内”和“不同平面内”的事物。

学生相互讨论，师生交流。

通过创设情景，对在“同一平面”和“不在同一平面”的空间位置关系逐一分类讨论，深入浅出地解决了学生对“在同一平面内”空间观念的理解。掌握分类的思想方法，可以将复杂的问题简单化、清晰化，培养学生有条理地思考，提高学生分析思辨的思维能力。

总之，在小学阶段有意识地向学生渗透基本的数学思想方法可以加深学生对数学知识的理解，提升学生的数学素养，进一步提高数学解决问题的能力，为学生今后的数学学习积攒强大的后劲。然而，数学思想方法不同于一般知识技能，无法通过短期的训练便能掌握，数学思想方法的教学是一个经过长期的渗透和影响才能够形成思想和方法的过程。

（作者单位 福建省厦门市翔安区马巷中心小学）