恰当使用速度

在很多力学问题中，有很多题如果直接用公式列方程组求解，显得非常困难，甚至根本无法列出合适的方程。到最后，费了力又费了时，又没达到理想的效果。特别是高考场上，分秒必争。就需要有一些灵活有效的方法帮助我们走出困境。我们知道，在速度-时间图像中，物体的位移在数值上等于速度图线跟时间轴围成的面积，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，算术和表示总路程。下面我就通过举例的方式谈谈利用速度-时间图像跟时间轴围成的面积巧解力学难题，希望能对读者有所帮助。

例1 汽车由静止开始以额定功率行驶，速度达到v的过程中的平均速度为v1，汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v的过程中的平均速度为v2；则（ ）

A．v1=v2。B．v1

C．v1>v2。D．条件不足，无法判断。

解析 这道题直接用公式来解决，显得束手无策。若利用速度图像直观地将汽车的两种运动过程展现出来，再利用平均速度的概念判断问题便迎刃而解。如图1所示，①表示汽车由静止开始以额定功率行驶的过程。过程中功率不变，速度不断增大，牵引力不断减小，汽车所受的合力不断减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，而对于同一辆汽车而言，由于汽车的额定功率大于等于汽车做匀加速直线运动的实际功率，由P=F・v可知，汽车以额定功率P0行驶时（相对于同一速度v）的牵引力和加速度大于汽车做匀加速直线运动的牵引力和加速度，故②表示汽车做匀加速直线运动过程的图线。在图象上连辅助直线OA，则依OA直线规律运动时的平均速度v3=v2=12v,而依图线①规律运动的平均速度v1>12v，所以，v1>v2=v2，选C正确。

答案：C。

例2 甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度经过某一路标，以后甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时的速度又相同，则（ ）

A.甲车先通过下一路标。

B.乙车先通过下一路标。

C.丙车先通过下一路标。

D.三车同时到达。

解析 这道题如果直接列方程求解也很困难，由题意知三车的位移和初、末速度相等，可画出图2所示的图像，就使问题变得简单明了。图像中直线PC是甲车一直做匀速直线运动的速度图线，折线PAB是乙车先加速后减速的速度图线，折线PED是丙车先减速后加速的速度图线，由题意知三车的位移相等，所以有速度图线PC、PAB和PED与时间轴围成的面积相等。由图可知，乙车用时为t1最短，所以乙车先通过下一路标。

答案：B。

例3 如图3（a）所示，质量为2m的长木板，静止地放在光滑的水平面上，另一质量为m的小铅块（可视为质点）以水平速度v0滑上木板左端，恰能滑至木板右端且与木板保持相对静止，铅块运动中所受的摩擦力始终不变。若将木板分成长度与质量均相等（即m1＝m2＝m）的两段1，2后紧挨着放在同一水平面上，让小铅块以相同的初速度v0由木板1的左端开始运动，如图3（b）所示，则下列判断正确的是（ ）

A．小铅块滑到木板2的右端前就与之保持相对静止。

B．小铅块滑到木板2的右端与之保持相对静止。

C．小铅块滑过木板2的右端后飞离木板。

D．以上三种情况都可能发生。

解析 这道题中间过程复杂和繁琐，用一般的解题方法很难理清思路，更谈不上正确求解了。现在我就用速度－时间图像来分析一下，图3（a）中小铅块和长木板组成的相互作用的物体系统，所受的合外力为零，动量守恒，最终两者达到相同速度，系统内两物体间存在一对相互作用的摩擦力。如图3（a）所示，长木板受到的摩擦力对长木板产生的加速度大小是小铅块受到的摩擦力对小铅块产生的加速度大小的一半，方向相反，作出速度图像，如图4（a）所示，故OBv0的面积就是小铅块相对长木板的位移s相1。图3（b）中，在小铅块滑到木板1的右端过程中，小铅块与木板1、2组成的系统所受的合外力为零，系统的动量守恒，木板1、2与小铅块的运动过程与图4（a）开始的运动过程一致。当小铅块滑离木板1后，木板1将保持小铅块滑离时自身的速度做匀速运动；小铅块和木板2继续作用，此时，两者的加速度大小相等，方向相反，假设直到两者相对静止，铅块m与木板2不分离，那么，将此过程也展现在速度图像上，如图4（b）所示，多边形OABv0的面积就是小铅块相对两木板1和2的总位移s相2。

将此两种情况在同一图上作比较，如图4（c）所示，显然S相1>S相2，因此，小铅块在滑行到木板2的右端之前就与之保持相对静止。

答案：A。

例4 一质量为1kg的质点由静止开始，第1s内受到向东方向的恒力F，大小为1N，第2s内受到向西方向大小不变的恒力F，第3s内力的方向又向东……如此反复，求质点2007s内的位移及2007s末的速度。

解析 这道题虽然不是很难，但题目所给时间较长，给人感觉就是很难计算出正确的结果。另外如不认真分析往往会认为质点做的是往复运动。其实，若将物理过程以图像的形式展现出来，如图5所示。则由图线与时间轴所围成的面积均在时间轴的上方，从而对质点一直向一个方向运动一目了然，而且运动的加速度大小始终相等，这样不用计算就很容易判断出2007s末的速度是1m/s，方向向东；2007s内的位移是1003.5m，方向向东。

例5 一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。起始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

解析 这道题学生往往不容易分析出黑色痕迹产生的具体物理过程，也对黑色痕迹哪个时候开始产生，哪个时候结束感到茫然。但只要画出速度－时间图像，整个物理过程就变得相当清晰。由题意可知，煤块的加速度a＝μg，由于是传送带带动煤块运动，所以有a＝μg＜a0,即传送带先达到最大速度v0，因此在图6中图线OAC是传送带的速度图线，图线OBC是煤块的速度图线。经分析可知当煤块和传送带的速度达到相同时，就保持相对静止，煤就不会再在传送带上留下黑色印迹。由图6可知，当时间为t2时，煤块和传送带的速度达到相同，在0－t2这段时间里，传送带与煤块运动的位移之差就是黑色印迹的长度，也即三角形OAB的面积。

因为t1＝v0a0，t2＝v0μg

三角形OAB的面积

S＝12（t2－t1）v0

＝12（v0μg－v0a0）v0

＝12（v20μg－v20a0）。

答案：黑色印迹的长度为12（v20μg－v20a0）。

图象法能直观地描述物理过程，清晰地表示出物理量间的关系，形象地表达物理规律，利用图像解决问题，使问题变得简单明了，使解题过程简单优化，令人耳目一新。以上只是对速度图像的粗浅认识，其实速度图像还在其它很多地方要用到，这就需要同学们在学习的过程中做个有心人，深入思考的同时要善于总结。只有这样你才能真正能做到灵活运用我们学到的物理知识和规律。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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