v-t图象在求解物理问题中的作用

v-t图象在中学物理中应用十分广泛。其独特的优点在于能直观、形象地反映物理规律，表达物理过程，内涵丰富，形式灵活多变。对于一些问题，应用已有定理、公式求解很麻烦甚至难于得出正确结论，而利用v-t图象，则思路清晰，过程简洁，常能起到事半功倍的效果，对于提高解题能力有十分重要的意义。为此，笔者就自己在教学中的一些体会，谈谈v-t图象在解决有关中学物理问题中的作用。

1 画出图象，换种思维

例1 质量为M的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m，速度为v0的子弹水平地射向木块，使木块在水平面上运动，子弹在木块内深入距离d后，相对于木块静止，并留在木块内。求子弹深入木块d这段时间内，木块滑行的距离s。（子弹所受木块阻力视为恒定）

解 子弹与木块相互作用时间T内，系统动量守恒，设末速度为v，则：mv0=(M+m)v

v=mM+mv0(1)

子弹与木块运动的v-t图象如图1所示，在时间T内，木块位移s为ΔOPT的“面积”，子弹的位移s′为梯形OTPv0的“面积”，d=s′-s为ΔOPv0的“面积”，因ΔOPT与ΔOPv0等高，则：

sd=vv0（2）

由（1）、（2）得：s=mM+md(3)

此题若用动量守恒及动能定理求解，学生难于理解子弹位移（s+d），而通过“v-t”图象的分析，避免了这一困难，很容易弄清各量间的关系。

2 利用图象，便于求解

例2 在光滑水平面上有静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32焦耳。则在这整个过程中，恒力甲、乙做的功各等于多少焦耳？

解 根据题意，作出物体在整个过程中的v-t图象，如图2所示，其中OA段为F甲作用下的运动过程，ABC段为F乙作用下的运动过程，根据题意，两段作用时间相等，正向位移和负向位移也相等，即图中OAB的“面积”与BCE的“面积”相等。设OD段时间为t0，DB段的时间为tx，则由“面积”相等和相似三角形性质可得如下二式：

12（t0+tx）v1=12(t0-tx)v2(1)

txt0-tx=v1v2(2)

由（1）、（2）联立得：v2=2v1，Ek2=4Ek1=32焦耳，Ek1=12mv21=8焦耳，W甲=12mv21=8焦耳，W乙=12mv22-12mv21=24焦耳。

该题若用动力学公式及规律求解，方程较多，求解过程较繁，在引入v-t图象后，使过程大为简化，显示了其优越性。

3 观察图象，结果直观

例3 图3为初速度为v0，沿直线运动的物体的速度图象，其末速度为vt，在时间t内，物体的平均速度和加速度是（ ）

A.=v0+vt2，a恒定。

B.

C.>v0+vt2，a随时间减小。

D.无法确定。

解 由v-t图象的意义可知，图线的斜率表示加速度的大小，从图3不难看出，由v0vt的过程中，图线切线斜率逐渐减小，因此a随时间减小，若速度按直线ADC描述规律变化，则=v0+vt2，而实际按弧形ABC描述规律变化且在直线ADC的上方，因此>v0+vt2，应选（C）。

此题为有关平均速度和加速度大小判断的习题，只要熟悉v-t图象的物理意义，答案就显而易见了。

4 借助图象，化难为易

例4 如图4所示，两个同样的小球，从竖直放置的光滑圆环的水平直径A端，以同样的速率开始分别沿上半环和下半环运动到另一端B，则两球运动的时间t上和t下的大小关系为：（ ）

A.t上>t下。B.t上

C.t上=t下。D.不能判定。

解 两球作非匀变速运动，沿上半环运动的小球先减速后加速，沿下半环运动的小球先加速后减速，且到达B点时路程相等，速率相同，两球的v-t图像（速率时间图象）如图5所示，根据v-t图象与时间轴所包围的“面积”为路程的大小，可以看出，上凸面积与下凹面积相等的条件是t上>t下，应选择答案（A）。

5 一图多用，事半功倍

例5 一物体做匀变速直线运动，其时刻速度大小为4m/s，1s后速度的大小变为10m/s，在这1s内，该物体的（ ）

A.位移的大小可能小于4m。

B.位移的大小可能大于10m。

C.加速度的大小可能小于4m/s2。

D.加速度的大小可能大于10m/s2。

解 由题意作出物体可能运动的v-t图象，如图6所示，由v-t图象的物理意义可知，图线与横轴（t轴）所围图形的“面积”为位移的大小，图线斜率表示加速度的大小，由图象很容易求出sOABD=7m，sEDC-sOEA=3m，aAB=6m/s2，aAC=-14m/s2。因此正确答案应为“A”、“D”。

以上几例，仅冰山一角地说明了v-t图象在解决物理问题（尤其是运动学问题）中的一些作用，它不但能开阔我们的视野，活跃解题思路，而且将物理问题与图象紧密联系起来，从图象的物理意义中寻求解决问题的方法，使我们的思维又有一次大的飞跃。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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