动能定理有分量形式吗

所谓动能定理的分量形式，就是将动能定理ΔEK=W，写成X方向ΔEKx=WK,Y方向ΔEKy=WY

能否将动能定理分解使用，请看两例。

例1 一个质量为m的小球以初速度度v0抛出，v0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：小球上升的最大高度H和在最高点的速度v

解1 (用动能定理分量形式解)在X方向应用动能定理得：

12mv2-12m(v0cosθ)2=0

v=v0cosθ

在Y方向应用动能定理得：

0-12m(v0sinθ)2=-mgH

H=v20sin2θ2g

解2 （常规解）据运动的合成与分解，小球的运动可分解为水平方向的匀速直线运动与竖直方向的竖直上抛运动，根据运动学公式，得：

X方向：v=v0cosθ

Y方向：0-（v0sinθ)2=-2gH

H=v20sin2θ2g

例2 一个原来静止的质量为m的物体放在光滑的水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在两个力的方向上的分速度分别为v1和v2如图所示，那么在这段时间内，其中一个力做的功为（ ）

A.16mv2。B.14mv2。

C.13mv2。D.12mv2。

解1 （用动能定理分量形式解）依题意物体在两个分力方向上，均做初速度为零的匀加速直线运动，且两个分运动速度相等，则应有v1=v2,且2v1・cos30°=v，即v1=v3。

在一个分运动方向上，由动能定理可得一个力做的功为W=12mv21=16mv2，由此得到A选项正确。

解2 （常规解）依题意两个力做的功相同设为W，则两力做的总功为2W，物体动能的改变量为12mv2。根据动能定理有2W=12mv2，则可得一个力做的功为W=14mv2。由此得到B选项正确。

为什么用动能定理的分量形式有时能得到正确的结论（例1中的解1），有时只能得到错误的结论（例2中的解1），原因是：根据运动的合成与分解，合速度可以表示为分速度的矢量和，即：v=v1+v2

当 v1、v2方向相互垂直时，v2=v21+v22

两边同乘以12m得：

12mv2=12mv21+12mv22

用动能定理解和根据运动的合成与分解解同一个问题结论一致。

当v1、v2方向成一不为90°夹角θ时，v2=v21+v22+2v1v2cosθ

12mv2≠12mv21+12mv22

用动能定理分量形式解和根据运动的合成与分解解同一个问题结论不同。

综上所述，虽然动能定理的分量形式在两分运动彼此垂直的特殊情况下可能会求得正确的结果，但由于动能定理是标量式，将它分解使用的本身就是错误的。建议慎用！

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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