缺“8”的数字更奇妙

由于数字“8”的发音与“发”相近，所以“8”在生活中被人们青睐，带“8”的日期常被选为良辰吉日，带“8”的号码常被当成幸运号码……然而，在数学中，缺了“8”的数字以其特有的一些性质引起了人们的密切关注，通过研究，人们发现，缺“8”的数字更奇妙。

自然数12345679被称为“缺8数”，它有着许多奇妙的性质。

清一色

缺8数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如：

12345679×9＝111111111

12345679×18＝222222222

12345679×27＝333333333

12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

12345679×54＝666666666

12345679×63＝777777777

12345679×72＝888888888

12345679×81＝999999999

三位一体

缺8数乘以3的倍数但不是9的倍数，可以得到“三位一体”，例如：

12345679×12＝148148148

12345679×15＝185185185

12345679×33＝407407407

12345679×57＝703703703

12345679×78＝962962962

轮流休息

当乘数不是9或3的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇怪的特点：乘积的各位数字均无雷同，都缺少一个数字，而且存在着明显的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。例如乘数在区间［10，17］的情况（其中12和15因是3的倍数，予以排除）：

12345679×10＝123456790（缺8）

12345679×11＝135802469（缺7）

12345679×13＝160493827（缺5）

12345679×14＝172839506（缺4）

12345679×16＝197530864（缺2）

12345679×17＝209876543（缺1）

乘数在区间［19，26］及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似（你可以计算试试）。至于乘积中缺什么数，就像工厂或商店中的职工“轮休”一样，实在有趣。

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是10位数，但上述的各种现象依然存在，真是“一以贯之”。

例如乘数为9的倍数时：

12345679×243＝2999999997

只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

例如乘数为3的倍数，但不是9的倍数时：

12345679×84＝1037037036

只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又出现了“三位一体”。

例如乘数为3k＋1或3k＋2型时：

12345679×98＝1209876542

从表面上看来，乘积中出了现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1数”，仍符合“轮流休息”规律。

走马灯

当缺8数乘以19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数“2”在乘积中成了开路先锋。例如：

12345679×19＝234567901

12345679×28＝345679012

12345679×37＝456790123

深入研究显示，当乘数为一个公差等于9的算术级数时，就会出现“走马灯”现象。例如：

12345679×8＝098765432

12345679×17＝209876543

12345679×26＝320987654

12345679×35＝432098765

回文结对 携手同行

缺8数的精细结构引起了研究者的浓厚兴趣，有人偶然发现了下面的规律：

12345679×4＝49382716

12345679×5＝61728395

前一式的乘积颠倒过来，跟后一式的乘积几乎相同，虽有微小的差异，即“5”代替了“4”，但根据“轮休”规律，这应该是正常现象。

这种“回文结对，携手并进”的现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也同样适用。例如：

12345679×22＝271604938

12345679×23＝283950617

前一式的乘积颠倒过来，基本上是后一式的乘积，其中后一式乘积中的“2”有移动，并且“5”代替了“4”。

为什么缺少了“8”，数字就会呈现出这么多有趣的规律呢？

缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜：

＝0.012345679012345679012345679……

原来，缺8数跟的循环节有关！

利用数学归纳法不难推出，的循环小数的所有层次，8都被一一跳过。

我们知道，＝×，把化成循环小数时，其循环节只有一位，即0.111111111……

那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：

×9＝＝0.111111111……

缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：

×3＝＝0.037037037……，一开始就出现了3位的循环节。

缺8数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上的每位数加1，自然就出现了“走马灯”现象。