期望收益率不确定与最优组合选择

摘要：考察不完备市场中风险资产的期望收益率不确定的情况下，即期望收益率未知且可发生状态转移，消费者的信念对消费及投资组合法则的影响。研究发现信念对消费及投资配置都有影响。最重要的是，在本假定条件下发现：（1）对冲需求不是在估计风险最大时达到最大；（2）由期望收益率不确定的情况导致最优投资小于期望收益率确定情况下的最优投资，这与Brennan（1998）和Honda、Toshiki（2003）的结论是不一致的。

关键词：不完备市场；信念；消费一资产配置

文章编号：1003-4625（2015）06-0001-05 中图分类号：F832.5 文献标识码：A

一、引言

最优消费与资产配置是理论金融和应用金融的一个中心议题。最基本的问题是：一个代表性投资者应该把多少资产配置在股权上？解决这样的问题，首先得描述股票的收益率。Merton假定风险资产的收益率分布的参数已知，但这些已知的参数是由历史数据估计出来。从实践的观点，用历史数据估计的参数来描述现在及未来的变化会产生误差。于是后续有相当多的学者考虑参数估计的合理性以及估计风险。本文将继续研究不完备市场中风险资产的期望收益率不确定的情况下，即期望收益率未知和期望收益率未知且可发生状态转移时，投资者的学习对消费法则及投资组合的影响。

Bawa、Brown和Klein考虑了单周期背景下参数不确定对投资组合选择的影响，并且显示参数不确定情况下的收益率的“预测分布”与把参数当成是已知情况下的分布是不一样的。他们把由于参数的不确定导致的额外风险称之为“估计风险”。Gennotte和Feldman显示证券价格服从扩散过程的连续时间背景下，参数不确定性的影响与离散情况的单周期模型是完全不一样的。

Nicole Branger、Linda Sandris Larsen、Claus Munk研究了在有学习和模糊风险厌恶系数情况下的最优投资。发现学习和模糊风险厌恶系数对最优的证券需求的水平和结构都有影响。Wang和Yi假定风险资产的收益率是随机的，其分布的参数是未知的。利用贝叶斯方法把最优投资及消费问题刻画成马尔可夫决策过程，最后数值解发现如果风险资产期望收益率越高或风险资产收益率的波动越小时，投资者就应该将更多的资产分配到风险资产上，反之就应该将更多的资产分配到无风险资产上。

Honda、Toshiki在参数不确定的情况下，研究发现年轻人应该更多还是更少持有股票，并不单纯取决于投资期限，还取决于如风险厌恶程度和风险资产期望收益率与无风险利率的大小的关系。如果投资者是风险厌恶型，那么当期望收益率是未知且会发生状态转移的情况下的投资会少于期望收益率是已知常数的情况，如果投资者是风险偏好型的，则会增加风险资产的持有。此结论与Brennan是一样的。他们都假定投资者的效用函数为幂效用形式。而Wang采用指数效用函数研究了未知收入增长率对投资者消费及资产配置的影响，并且指出幂效用形式是他下一步研究的目标。于是我们猜测在期望收益率不确定及学习的情况下，投资者投资于风险资产的比例或数量比Merton框架下的比例或数量要多还是少，也就是对冲需求是正的还是负的，也取决于效用函数形式，而不是简单取决于投资者的风险偏好类型。于是我们按照王能的架构，重新研究Honda、Toshiki的问题，通过数值模拟发现，在期望收益率未知且会发生状态转移的情况下，投资者在风险资产上的投资要少于期望收益率是已知常数的情况，这与Brennan和Honda、Toshiki的结论是不一致的。本文同时也发现：（1）对冲需求不是在估计风险最大时达到最大；（2）漂移系数在两种状态之间的转换概率对投资配置变化的影响是不对称的；（3）消费在期望收益率未知且可发生状态转移的时候最平稳。

本文的结构如下：在第2部分，对模型进行设置，并推导出相应的贝尔曼方程；第3部分求解贝尔曼方程的闭解，并对所得闭解进行分析和数值分析；第4部分进一步比较分析三种情况下消费及投资法则的变化；第5部分是本文的结论及下一步的工作。

二、模型设置

这里探讨一个消费和投资组合配置问题。一个永葆青春的消费者初始时刻有w单位的财富，这个消费者可以选择在无风险资产和有风险的金融资产上投资。无风险资产的收益率为a，是个常数，而风险资产的收益率R（t）的变化过程为：

σ是市场收益率的波动率，z是一个标准的布朗运动。在标准的消费一投资模型中，消费者知道风险资产的收益率的过程和描述收益率过程的参数。然而很多经验证据显示，用基于历史数据的收益率估计未来收益率会产生很大的偏差。对风险资产收益率的学习会对消费者的跨期消费和组合配置法则产生显著的影响。而且风险资产收益率μ可能会随着时间发生随机的变化。假定消费者在t时刻把x（t）单位的财富配置在风险资产上，w（t）-x（t）单位的财富投放在无风险资产上。则消费者的金融财富的动态过程为：

其中（2）中的第一项表示的是金融资产的利息减去消费，我们把它定义为储蓄。

消费者关于时间可加可分离的效用函数为

其中p是主观贴现率，γ是绝对风险厌恶系数（CARA），即 。由于CARA效用忽略了财富效应，所以在推导消费一投资需求法则时更容易处理。消费者通过选择消费c和配置到风险资产的财富x来最大化由（3）给出的效用。

我们假定{μ（t）：t≥0}未知且是随机的，所以我们首先描述风险资产预期收益率{μ（t）：t≥0}的动态过程，然后分析消费者的最优化问题。一个简单的能抓住风险资产预期收益率随机性质的方法是，假定收益率{μ（t）：t≥0}随着时间在μ1和μ2之间随机变化，且μ2

其中δ=μ1-μ2是μ的两个可能取值之差。对于一个较短的时间周期（t，t+t），风险资产瞬时收益率的变化为R（t+t）一R（t），预期的改变为μt。则未预期到的改变为R（t+t）-R（t）-μt。未预期到的改变除以 ，并且当t0时，我们可得到一个新的布朗运动OJ：

于是我们可以得到风险资产瞬时收益率的另一个基于新的布朗运动的变化过程：

根据Liptser与Shiryayev的结果，信念的变化过程可以写成：

这样，我们得到风险资产瞬时收益率与信念是完全相关的。

财富的动态过程则由（2）变为：

当风险资产的预期收益率μ是未知的，这个关于原始信息集 的最优化问题不是马尔可夫的。信念更新过程（7）和风险资产瞬时收益率的革新表示过程（6）共同传递了风险资产收益率的原始过程和收益率先验信念的相同信息。我们能够把原始的非马尔可夫最优化问题转化为马尔可夫最优化过程。也就是消费者最大化效用函数（3），受到财富动态过程（8）和信念更新过程（7）的共同约束。重要的是，消费者关于风险资产期望收益率的学习隐含p，是除了财富w之外的另一个状态变量。

消费者的最优化问题有两个状态变量。这时消费者的值函数J（w，p）对应的贝尔曼方程为：

方程中的Jp和Jpp两项抓住的是消费者关于风险资产收益率的信念对值函数的影响。由于信念更新的信息完全由已实现的风险资产收益率所推动，故风险资产的收益率与信念更新过程是完全正相关的，即由方程中的Jpw项所反映，同时Jpw也抓住了由关于信念更新相关的估计风险所导致的对冲需求。

三、模型求解

对于期望收益率μ为已知的情况，这一问题的研究已经非常成熟，如Merton等。这里我们把相应结果以一个命题的形式记录下来，并作为我们分析的基准。

命题1.如果经济参与者知道风险资产期望收益率μ，且λ1=λ2=0，则他的最优消费c*与配置到风险资产的最优财富量x+分别为：

其中

如果风险资产的期望收益率高于无风险资产，则在风险资产上的投资机会会使得有前瞻性的经济参与者增加目前的消费，这从（10）与（12）的第二项可以看出来。如果经济人的耐性比较差，即β比较大，经济人也会增加当前的消费，反之就减少消费。

接下来我们分析一下贝叶斯学习问题，然后使用动态最优化求解决策法则。最后强调学习导致的对冲需求的应用。由于不能观测到风险资产期望收益率μ，经济参与者使用风险资产历史收益率估计风险资产期望收益率是高的概率或可能性。方程（7）给出了信念更新过程。由于未知的期望收益率μ是随机的。考虑一个比较短的时间间隔（t，t+t）。假定风险资产收益率目前是高的，即（μ（t）=μ1），则收益率从μ1到μ2的条件概率是λ1t。变化的幅度 。所以基于条件 的收益率的预期变化为 ，t时刻 的概率是p 。风险资产收益率的无条件预期变化为

上面关于扩散系数和前面关于波动率的分析共同为（7）式的贝叶斯更新法则提供了一个经济学的直观解释。当信念p（t）大于长期概率 ，那么信念p（t）从平均意义上来说被预期向下移动。也就是说信念过程遵循均值反转的性质。使用信念更新法则，我们解决了经济人的决策问题，并且得出如下命题。

命题2.当期望收益率是未知且随机时，经济参与者的消费法则c*和财富配置法则x*分别为：

其中g（μ2）由（12）式给出，

是下面微分方程的解

同时边界条件为：

由于期望收益率是随机的，即使经济人能确切知道t时刻的期望收益率是高的，风险资产的收益率也会以概率 转变成低收益率。所以对任意水平的信念p，学习都会导致预防性储蓄及对冲需求。

本如下的参数假定，无风险利率a=4%，风险资产预期收益率之差δ=8.4%，低收益率μ2=4%，高收益率μ1=12.4%，风险资产波动率σ=20.2%，风险厌恶系数γ=5，贴现率β=0.5。在文章的其他部分，除了特别说明外，我们使用相同的参数值。

从图1可以看到，或者λ1，比较大，或者λ2比较大时，f（p）比较平。当然，从低收益率变到高收益率的转换概率λ2变大时，从平均意义上说，风险资产收益率比较高，因此f（p）比较大。例如，比较（λ1，λ2）=（0，0）与（λ1，λ2）=（0，3%）的情况，从图上可以看到，当λ2=3%时的f（p）大于λ2=0时的f（p）。而且λ1=0时，高收益率的状态是吸收的，在此情况下

在λ1相同的情况下，λ2越大，则消费增加也就越多。在λ2相同的情况下，λ1越大，则消费增加也就越少。

图2表示的对冲需求‘关于信念p和（λ1，λ2）的变化情况。我们可以看到，当λ1的值越大，由估计风险导致的对冲需求 就越小，而入：的值变化虽然也会影响由估计风险导致的对冲需求，但影响明显比λ1的值导致的对冲需求要小得多。而且发现λ1越大，对冲需求的最大值就越在接近p=0.5的地方出现。直觉上我们认为，当风险资产预期收益率越容易转变，则学习导致的对冲需求 就越小。这是因为期望收益率的状态之间越容易发生转移，则历史信息就越不准确，消费者也就不会根据已有信息对目前的决策做大幅度的调整。有趣的是，我们发现对冲需求 部分关于λ1是递减的，但关于λ2的关系是不明确的。当p小于某个值时，对冲需求 关于金融理论与实践入：是递增的，当p大于某个值时，对冲需求 关于λ2是递减的。

图3显示的是对冲需求 随着风险资产收益率的波动率σ是递减的。因为来自一个更少波动的已实现的收益率的变化所包含的信息更丰富.更能反映收益率的变化。因此当收益率的波动率更小时，学习导致的投资变化更明显。

四、进一步分析

接下来通过数值模拟考察期望收益率为已知常数、期望收益率为未知常数和期望收益率为未知的随机变量对消费者投资决策及消费决策的影响。

图4（A）是期望收益率在各种情况下的风险资产配置，其中x代表期望收益率已知且为常数情况下的风险资产配置；xx代表期望收益率未知但为常数情况的风险资产配置；xxx代表期望收益率未知且为随机情况下风险资产配置LAMBDA=0.03，γ=5。图4（B）中LAMBDA=0.03，γ=5，其与4（A）相同。

从图4发现期望收益率已知情况下，在风险资产上的配置都大于期望收益率为其他的情况，这与Brennan和Honda、Toshiki的结论不一致。Honda、Toshiki的研究认为如果投资者是风险厌恶型的，那么当期望收益率是未知且会发生状态转移的情况下的投资会少于期望收益率是已知常数的情况，如果投资者是风险偏好型的，则会增加风险资产的持有。Brennan和Honda、Toshiki选择的效用函数为幂函数，我们选择的是指数函数，因此我们认为期望收益率未知且可发生状态转移情况下的最优组合选择中，投资者应该更多还是更少持有股票与我们选择的效用函数形式有关。当效用函数为幂函数时，投资者应该更多还是更少持有股票与风险厌恶程度有关，而当效用函数为指数函数时，投资者都会更少持有股票等风险资产。

从图5可以看到，期望收益率未知且可发生状态转移的情况下消费最平稳。这与直觉是一致的，当低收益率出现的可能性越大且不会发生状态转移，或期望收益率本身就是很低，那么消费者为了平滑一生的消费，则会减少消费，增加储蓄、投资；当高期望收益率出现的可能性增大，但由于收益率的状态之间可发生转移。因此，尽管目前高收益率状态出现的可能性大，但由于存在转移低收益率状态的可能，投资者的消费会增加，但不如另外两种情况增加得明显。

五、结论

本文研究了关于风险资产瞬时收益率漂移系数的学习对个人消费和组合配置法则的影响。经济人使用动态贝叶斯法则更新风险资产瞬时收益率。学习过程很自然地产生了估计风险。重要的是，投资者通过在风险资产上的投资，部分地对冲波动风险和估计风险。在预期收益率是未知的情况下，风险资产波动率越大，信念更新的波动率就越小，也就是说估计风险也就越小，这样由学习导致的对冲需求∈就会减少。直观上来说，如果风险资产预期收益率在两状态之间的转移概率越大，那么学习导致的对冲需求就越小。但本文发现当λ2一定的情况下，对冲需求关于入，是递减的，这与直观是一致的；本文也发现，当入，一定的情况下，对冲需求关于λ2有增有减。当p小于某个值时，对冲需求 关于λ2是递增的，当p大于某个值时，对冲需求 关于入λ2是递减的。我们通过数值模拟也发现对冲需求不是在估计风险最大时达到最大。

同时本文也比较了期望收益率为已知常数、未知常数和未知且随机的三种情况下信念对消费及组合配置的影响。数值模拟发现，消费者在期望收益率未知且随机情况下在风险资产上的投资均小于期望收益率已知的情况，这与Brennan和Honda、To-shiki的研究发现是不一致的。在他们的假定下，投资者投资在风险资产上的财富是增加还是减少取决于投资者的风险厌恶程度。本文存在的不足是目前还不能比较好地解释为什么效用函数的不同会导致结论的不同。下一步的工作我们将寻找原因以及试图解释一些有限参与的问题。