从高考试题看线性规划的学习与复习

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，而提高经济效益一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力、物力资源，线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力、物力等资源，使经济效益达到最大。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容，近年来成为高考中的热点问题，其试题已从简单的求线性目标函数的最值、平面区域的面积，转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围，现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。下面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。

一 考题回顾

高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面：

第一，注重对基本题型的考查。（1）已知线性约束条件，求目标函数的最值问题。如2012年，山东理第5题。（2）线性规划应用题。如2012年，四川理第9题。

第二，体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。（1）含有参数的线性规划问题。如2012年，福建理第9题。（2）与向量、不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。如2011年，湖北理第8题；2009年，山东理第12题；2012年，北京理第2题。

第三，凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。典型试题：（2012年，江苏14）已知正数a，b，c满

足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是

。

二 分析解读

1.关于线性规划基本题型

已知线性约束条件求目标函数的最值问题，线性规划应用题，属于线性规划的最基本问题，是线性规划的简单应用，要求学生能够熟练掌握可行域的画法，并能根据目标函数的变化情况，在可行域内找到相应的最优解及最值。对于应用性问题还要求学生能够根据题意，通过设置恰当的未知数将实际问题转化为线性规划的问题求解。旨在考查学生对线性规划基本知识、基本问题的掌握，属于容易题。

2.关于对线性规划与其他知识相结合的题型

它体现了线性规划的灵活应用，突出了对学生能力的考查，有一定的综合性，其本质还是线性规划问题，解决方法仍然同基本问题的方法类似。含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的不含参数的不等式所表示的平面区域作出，然后再考虑含参数的不等式，可以利用尝试的方法去研究。与向量、不等式、概率等知识相结合的问题，从题目中容易看出其中包含的线性规划的“轮廓”还是比较清晰的，结合相关知识的内容转化成线性规划的基本题型不困难。

3.关于用“数学规划”思想求解问题的题型

这类问题从形式上可能看不出线性规划的“影子”，其约束条件隐蔽，需要进行适当的数学变形，变形后约束条件可能不是线性的，其目标函数也未必是线性的，我们可以称之为“异化”的线性规划问题。此类问题有一个共同特征：具备某些不等（或相等）关系的限制条件，求某个变量的范围或最值。从下面的解答过程可见一斑。

解析：条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：

设 ， ，则题目转化为：已知x，y满足：

，求 的取值范围。

作出（x，y）所在平面区域（如右图）。求出y≥ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥

0），则 ，要

使它最小，须m=0。

的最小值在P（x0，y0）处，为e。此时，点P（x0，

y0）在y=ex上A，B之间。

当（x，y）对应点C时，

。

的最大值在C处，为7。

的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7]。

三 学习启示

高考对线性规划的要求越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义（如斜率、距

离、面积等）。多以选择题、填空题出现，含参数的线性规划问题也是高考的热点。在知识交汇处命制试题更是高考试题的一个重要特点，鉴于此，在学习与复习中要紧紧抓住以下环节：

1.牢固掌握可行域的画法

若要正确画出可行域，首先是正确画出每个二元一次不等式所表示的平面区域，这有两种常用的方法：一是先画出相应二元一次方程所表示的直线，再选取一个特殊点（如果直线不过原点则常选取原点）代入二元一次方程，计算其值的正负再结合二元一次不等式的要求，若符合，则该点所在的区域就是所求的一元二次不等式所表示的平面区域，否则该点所不在的区域为所求的区域，我们可以用一个成语形象地总结：窥一斑而知全豹。二是将一元二次不等式化为y>kx+b（或y>kx+b）的形式，若是y>kx+b形式，则所表示的平面区域一定在直线y=kx+b的上方，反之在下方。其次是用阴影表示出几个一元二次不等式所表示的平面区域的公共部分。若边界不等式所对应的方程是特殊形式，则容易画出其所表示的区域，若二元一次不等式中含有等号则用实线表示，否则用虚线。

2.灵活求目标函数最值

正确画出可行域后，将目标函数z=ax+by（b≠0）化

为 形式，通过斜率为 的直线平移求出 的

最值，这个过程中需注意：一是所求可行域的边界与直线

倾斜程度之间的关系；二是z的系数 的正负对

z取最值的影响，当 >0时， 取得最大（小）值时，对

应的z也会取得最大（小）值，当

3.熟悉简单数学建模问题

应用数学解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过阅读、分析、处理数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系。数学建模需要较深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力。

4.深刻领悟数学规划思想

线性规划蕴涵的优化思想方法是数学中的基本思想方法，线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下的最优化问题，体会了这种思想后，就会明白“一个目标函数，

其变量在某种约束条件下，就可以求该变量的最优化问题”的数学规划思想。也就是说，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划问题，约束条件及目标函数也可以是非线性的，我们可以用数学规划思想去解决。