概率论中最直观和最简单的模型

【摘要】 概率作为描述随机事件发生可能性大小的度量，已经渗透到人们的日常生活中，成为数学的重要组成部分.而古典概型是计算事件概率的通用方法，在概率论中起着举足轻重的作用，是概率论中的经典模型.古典概型是概率论中最直观和最简单的模型.但其解决方式充满了技巧性，从而不容易掌握古典概型的解题的规律.

【关键词】 概率 古典概型 基本事件 有限性 等可能性

【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（b）-0193-01

在古典概型下，随机实验所有可能的结果是有限的，而且每一个基本事件发生的概率是相同的.例如：掷硬币的实验中，在一次实验中只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，所以出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的.

求解古典概型问题，一般要从以下三方面入手：

首先，分析问题性质，是不是古典概型的问题：（1）样本空间的元素（即基本事件）只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.有限性和等可能性是古典概型的两个特征：只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.

其次，掌握古典概型的计算公式；基本事件A发生的概率为：

最后，根据公式要求，确认n和k的数值：（1）要计算出事件A所包含的基本事件k；（2）要计算出样本空间中所含的基本事件总数n；（3）利用古典概型的计算公式进行计算.

1 古典概型在高中数学中的常见例题

例（摸球问题）设一只口袋中装有a只黑球，b只白球，现随机地把此袋中的球一只只的摸出来.试求第m（）次摸到黑球的概率.

分析：若，即求第一次摸到黑球的概率，显然为，

解 ：将a只黑球可以随机地放置在a+b个位置中的任意a个位置上的所有可能的放置结果取做样本空间，则基本事件总数，因第m个位置放置黑球只有一种放置结果，余下的a-1只黑球可以放置在a+b-1个位置中的任意a-1个位置上，有种放置结果.故A所包含的样本点数为：

于是，由古典概型计算公式得

2 古典概型解题方法中两种常见的错误及其解题技巧

古典概型看似模型简单，但其解决方式充满了技巧性，从而不容易掌握古典概型的解题的规律.会出现两种常见错误，通过对古典概型问题性质的探讨，总结和归纳了古典概型问题，从而在对规律总结基础之上得出古典概型问题的解决方法和解题的技巧，帮助我们分析题解方法及解题思路.

第一种错误：不符合古典概型条件

不符合古典概型条件造成的错解

例 将一枚正六面体的骰子抛掷两次，求朝上一面数字之和为6的概率.

解 随机试验E是抛掷两次正六面体的骰子，设随机事件A表示朝上一面数字之和为6的事件.

错误的作法 抛掷两次，朝上一面数字之和共有2，3，4……12 这11种结果，基本事件的总数n=11，而A中所包含的基本事件数m=1，所以.

错误的原因 这样取基本事件是可以的，问题就出在这些基本事件发生的可能性不同，即不符合古典概型公式的条件，所以这个基本事件空间不能用古典概型.

正确的做法 取基本事件（i，j），其中i，j=1，2……6；={（1，1） （1，2）…（1，6）（2，1）……（6，6）}

这些基本事件发生的可能性是相同的，所以基本事件的总数n=36，A={（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）}

即A中所包含的基本基本事件数m=5，所以.

第二种错误：分不清构成基本事件的对象造成错

分不清构成基本事件的对象造成错解，对有些问题分不清以谁为主来考虑，往往会造成问题复杂化或错解.

例 三封信随机的向标号为1，2，3，4的四个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入两封信的概率.

解 设事件D 表示第2个邮筒被投入两封信

错误的作法 第1个邮筒可以收到三封信中的任一封，有3种不同的方法.同理，第2第3以及第4个邮筒都有3种不同的收信方法，从而得到基本事件的总数n=3=81，组成D的不同投法是先从三封不同的信选一封出来，再从除第2个邮筒之外的3个邮筒任选一个来放这封信，所以z，.

错误的原因 （1）每个邮筒的收信方法不是3种. （2）按上述分析出现了不同邮筒同时收到某一封信的不合实际的情况.

正确的做法 （1）以信为主考虑，第1封信可以投到四个邮筒中的任意一个，有4种不同的投法，同理，第2封信以及第3封信都有4种不同的投法，即总的基本事件数为n=4×4×4=64种，组成D的不同投法m=，所以.