MATLAB仿真在信号与系统课程中的应用

【前言】MATLAB仿真在信号与系统课程中的应用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。图1 周期方波信号 首先我们判别该方波信号为奇函数，同时该方波信号是奇谐函数。根据奇偶函数的傅里叶系数的关系[2]，我们可以判别a■=a■=0，同时，根据三角形是的傅里叶级数的定义，知：f（t）=■+■a■cos（nΩt）+■b■sin（nΩt） （1） b■=■？蘩■■f（t）sin（...

摘 要： 文章针对信号与系统课程中的周期信号进行频域分解与合成分析时公式推导多、求解复杂、吉布斯现象不直观等问题，提出借助matlab仿真处理，得到直观的合成图形，加深学生对傅立叶级数和吉布斯现象的理解，激发学生的学习兴趣，取得良好的教学效果。

关键词： MATLAB仿真 吉布斯现象 傅里叶级数

以傅里叶级数表达方波会出现吉布斯现象，非理想方波中的振铃现象被证明与此现象有关。振铃效应是影响复原图像质量的众多因素之一[1]，其典型表现是在图像灰度剧烈变化的邻域出现类吉布斯分布，下面笔者以周期方波信号展开成三角形式的傅里叶级数为例具体说明傅里叶级数如何展开和什么是吉布斯现象。

1.周期方波信号展开为傅里叶级数

我们对周期信号进行频域分析，把周期方波信号展开成傅里叶级数的三角函数表达式，用计算机仿真实验，改变谐波分量的项数，可以演示信号分析中的吉布斯现象。一个信号f（t）的三角函数型的傅里叶级数明确地表示出f（t）的正弦分量。可以通过将f（t）频谱中的正弦相加合成f（t）下面合成周期方波信号，通过逐步将其频谱中的连续谐波相加，观察其结果与信号f（t）的相似性（见图1）。

图1 周期方波信号

首先我们判别该方波信号为奇函数，同时该方波信号是奇谐函数。根据奇偶函数的傅里叶系数的关系[2]，我们可以判别a■=a■=0，同时，根据三角形是的傅里叶级数的定义，知：f（t）=■+■a■cos（nΩt）+■b■sin（nΩt） （1）

b■=■？蘩■■f（t）sin（nΩt）dt （2）

=■？蘩■■（-1）sin（nΩt）dt+■？蘩■■sin（nΩt）dt

=■[1-cos（nπ）]+■[-cos（nπ）]+■

=■[1-cos（nπ）] （n=1，2，3…）（3）

=0，n=2，4，6，8，……■，n=1，3，5，7，……

f（t）=■[sin（Ωt）+■sin（3Ωt）+■sin（5Ωt）+…+■sin（nΩt）+…]

由上面的分析知道，周期方波信号的分解仅含有一、三、五、七等奇次谐波分量。

2.周期方波信号的合成

傅里叶级数的分解中含有大量数学公式推导，学生不易理解和掌握。故笔者尝试将仿真软件MATLAB引入到傅立叶分解传统的教学中，利用MATLAB软件的强大的仿真功能，把计算结果以图的形式形象直观地显示出来[3]，借助MATLAB仿真软件，用有限项傅里叶级数逼近方波信号的情况如图2所示。

其中图中的N表示三角形式的傅里叶分解的级数。由仿真波形可以清楚地看到第一项是粗略方波的近似，级数所取项数愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号，其均方误差越小，可以进一步说明：低频成分表示的是合成波形的主体轮廓。高频成分表示的是合成波形的细节部分。同时，由仿真波形好可以看出：级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。

合成波形的效果还可以用峰起值占总跳变值的比例表示，峰起值占总跳变值的比例的公式为：ω=■，其中，y表示的是方波信号高电平的值。不同的N值对应的峰起值占总跳变值的比例如下表所示。

表 不同的N值对应的峰起值占总跳变值的比例

由仿真波形和上表可以进一步看出，从图中可以看出，在不连续点附近，部分有起伏，其峰值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小保持不变而趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，即使n∞，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，存在9%左右的偏差。并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别，这种现象叫吉伯斯（J.Gibbs）现象。为了消除Gibbs现象，在取有限项傅里叶级数的时候可加平滑谱窗进行处理。

当我们学习图像的傅里叶变换，由于其变换本身有多种成熟的快速傅里叶变换算法，而且性能接近于最佳，从而获得较早的也比较广泛的研究。它的不足之处在于：相邻子图像数据在各个边界不连续造成的所谓Gibbs现象。这是由于图像数据的二维傅里叶变换实质上是一个二维图像的傅里叶展开式。当然这个二维图像应被认为是周期性的。由于子图像的变换系数在边界不连续，而将造成复原的子图像在其边界也不连续，于是由复原子图像构成的整幅复原图像将呈现隐约可见的以子图像尺寸为单位的方块状结构，影响整个图像质量，当子图像尺寸较小时情况更严重。

2（a）前3次谐波的合成波形 2（b）前5次谐波的合成波形

2（c）前15次谐波的合成波形 2（d）前50次谐波的合成波形

2（e）前150次谐波的合成波形 2（f）前500次谐波的合成波形

图2 谐波的合成波形

3.结语

笔者借助MATLAB仿真软件实现了周期方波信号的合成，在合成中直观地验证和演示吉布斯现象，该方法计算量大大降低、效果直观，不仅可以很好地加深学生对这一部分知识的理解，更好地将理论和实践相结合，而且对信号分析和处理的基本方法有更深一层的理解，更重要的是为学生提供用所学知识解决实际问题的一种新方法，这将对以后进一步学习和实验提供宝贵经验，该方法可以推广到信号与系统的其他章节的教学中，同时能为后续的数字图像处理课提供借鉴。

参考文献：

[1]吴定允，张利红.一种改进的图像盲复原算法[J].周口师范学院学报，2011，28（2）：52-54.

[2]吴大正，杨林耀，张永瑞，王松林，郭宝龙.信号与线性系统分析[M].高等教育出版社，2009.

[3]程铃，徐冬冬.Matlab仿真在通信原理教学中的应用[J].实验室研究与探索，2010，29（2）：117-120.

周口师范学院教学改革研究项目（信号与信息处理课程群的建设与改革探讨，项目编号：J201219）的研究成果。