基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算法

摘要：目前存在的CS恢复算法中大都采用固定的基函数，也就是在确定的域中对信号进行分解，比如：DCT域、小波域和梯度域，但这些域都忽略了自然信号的非平稳特性，缺乏自适应能力，从而不能够将图像分解得足够稀疏，也就使得CS恢复的效果很差，限制了CS在图像方面的应用。提出了一种基于分离Bregman迭代方法求解协同稀疏模型正则化的图像压缩感知恢复算法，能够在有效地刻画图像的局部平滑性和非局部自相似性的同时，获得更高质量的图像恢复效果。实验证明了本文提出算法的有效性，并且在峰值信噪比PSNR方面，比目前主流最好的算法高1 dB。

关键词：压缩感知； 协同稀疏性； 图像恢复； 稀疏表示； 优化求解

中图分类号：TP39141 文献标识码：A文章编号：2095-2163（2014）01-0060-05

0引言

最近几十年，传感系统获取数据的能力得到了高度提升和迅猛发展，但同时却也伴随着需要处理数据量的不断增大。传统的奈奎斯特（Nyquist）采样定理要求信号的采样率不得低于信号带宽的2倍，这就无疑会给相应的硬件采集数据设备带来更大的挑战。传统的信号压缩框架通常分为两步：先采样再压缩。编码端先对信号进行采样，再对采样值实行正交变换（如小波变换，离散余弦变换等）并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，完成后将编码值进行存储或传输；相应地，解码端需对接收的信号经解压缩，反变换后才能得到恢复信号。然而这种传统的压缩方法存在两个缺陷：

（1）由于受到Nyquist采样定理的限制，信号的采样速率要高于信号带宽的2倍，这就使得硬件采样系统面临着很大压力；

（2）在压缩编码过程中，大量变换域中幅值小的系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。

为了克服以上两个缺陷，2006年由Donoho与Candes 等人提出了压缩感知（Compressive Sensing， CS）的概念，并从理论上给出了一定的证明[1-2]。CS理论是一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论，其核心思想是：将压缩与采样合并进行。具体过程为：首先采集信号的非自适应线性投影（测量值），再根据相应的重构算法利用测量值重构原始信号。该理论表明：当信号具有稀疏性或可压缩性时，通过采集远远小于传统采样方法需要获得的数据量的较少的信号投影值就可实现信号的准确或近似重构，从而能够突破Nyquist采样定理的瓶颈，使得高分辨率的信号采集成为可能。

压缩感知理论给图像和视频压缩编码带来了革命性的突破和研究开展契机[3]。一方面，该理论的优点在于编码端可同时采样和压缩，大大简化了编码流程，节省了编码时间和能源消耗。压缩传感理论使得编码端较为简单，而解码端却相对复杂。这在一些特殊的数据采集场合显得尤为重要。比如：医学图像的采集需要尽可能少的时间以减少病人的辐射和恶化；恶劣环境下传感器要尽可能地减少能量的消耗等等。而这些情况下，解码图像是可以运用超级计算机来对采集的数据进行解码分析的。另一方面，压缩传感理论采样得到的观测值彼此之间具有相同的重要性，也可以说，每一个观测值都是同等重要或者同等不重要。换言之，图像/视频具有解码的渐进性，即图像/视频的解压缩质量或称之为重构误差仅仅依赖于随机观测的总数，而不取决于哪些观测值被研究者用于信号的重构。而这个优良的性质，恰好符合了图像多描述编码技术的需求。这一特性，也为多描述编码提供了一个崭新的思路[4]。

作为一种联合采样和压缩的方案，压缩感知（CS）已经引起了学术界的广泛关注[5]。CS理论表明如果一个信号能够在某个域中具有稀疏特性，那么该信号就可以用少于Nyquist采样定理的测量值而实现解码。因此，在CS恢复问题中的关键之一就是如何找到能够对信号进行稀疏表示的域，信号在这个域中表现得越稀疏，重构恢复的结果越好[6]。但是，目前存在的CS恢复算法中大都采用固定的基函数在确定的域中对信号进行分解，比如：DCT域[7]、小波域[8]和梯度域[9]，而这些域都忽略了自然信号的非平稳特性，并缺乏自适应能力，从而不能将图像分解得足够稀疏，相应地CS恢复的效果就会很差，由此限制了CS在图像方面的进一步应用。

针对以上问题，文献[10]利用分段自回归模型来刻画自然图像变化的二阶统计特性，从而提出了基于模型的CS恢复算法。文献[11]提出了非局部正则项约束下CS恢复模型。还有许多文献引入了图像变换后系数的统计和结构上的先验知识来实现CS恢复，如高斯混合尺度模型（GSM）[12]，树结构小波模型（TSW）[13]等。文献[14]利用多假设预测（MH），在CS随机投影域产生残差，与原始信号相比则具有更高的稀疏特性。文献[15]在混合空间-频率域提出了协同稀疏性，能够利用稀疏性同时刻画图像的局部平滑特性和非局部自相似特性，从而产生更佳恢复效果。第1期张健，等：基于分离Bregman迭代协同稀疏性的图像压缩感知恢复算法智能计算机与应用第4卷

1压缩感知基本理论

4结束语

本文提出了基于分离Bregman迭代方法求解协同稀疏性正则化图像压缩感知恢复的框架，使得求解更加高效鲁棒，提高了图像压缩感知恢复效果。在PSNR方面，本文提出的方法与传统的固定基函数方法相比，如小波方法（DWT）和全变分方法（TV），提高了4～5 dB；而与之前主流最好的方法，即利用增广拉格朗日算法求解协同稀疏性压缩感知方法（CoS）相比，则提高了1 dB，因此极大提高了目前图像压缩感知恢复效果的水平。

参考文献：

[1]DONOHO D L. Compressive sensing [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289–1306.

[2]CANDES E， TAO T. Near-optimal signal recovery from random projections and universal encoding strategies？[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（12）： 5245–5406.

[3]李树涛， 魏丹. 压缩传感综述[J].自动化学报，2009， 35（11）： 1369–11377.

[4]刘丹华，石光明，周佳社，等. 基于Compressed Sensing框架的图像多描述编码方法[J]， 红外与毫米波学报， 2009， 28（4）： 298-302.

[5]ZHANG J， ZHAO D， JIANG F. Spatially directional predictive coding for block-based compressive sensing of natural images [C]//Proc. of International on Image Processin.， Melbourne， Australia： IEEE， 2013： 1021–1025.

[6]ZHANG J， ZHAO D， ZHAO C， et al. Compressed sensing recovery via collaborative sparsity[C]//Proc. of IEEE Data Compression Conference， Snowbird， Utah， USA： IEEE， 2012： 287–296.

[7]HE L， CARIN L. Exploiting structure in wavelet-based Bayesian compressive sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2009， 57（9）：3488–3497.

[8]MUN S ， FOWLER J E. Block compressed sensing of images using directional transforms[C]//Proc. of International Conference on Image Processing. Cairo， Egypt： IEEE， 2009： 3021–3024.

[9]LI C， YIN W， ZHANG Y. TVAL3： TV Minimization by Augmented Lagrangian and Alternating Direction Algorithm [D]. 2009. http：//www.caam.rice.edu/～optimization/L1/TVAL3/.

[10]WU X， ZHANG X ， WANG J. Model-guided adaptive recovery of compressive sensing[C]// Proc. of Data Compression Conference， Snowbird， USA： IEEE， 2009：123–132.

[11]ZHANG J， LIU S， XIONG R， et al. Improved total variation based image compressive sensing recovery by nonlocal regularization[C]//Proc. of IEEE Int. Sym. of Circuits and Systems， Beijing， China： IEEE， 2013： 2836–2839.

[12]KIM Y， NADAR M S， BILGIN A. Compressive sensing using a Gaussian scale mixtures model in wavelet domain[C]//Proc. of International Conference on Image Processing. Hongkong： IEEE， 2010： 3365–3368.

[13]HE L， CARIN L. Exploiting structure in wavelet-based Bayesian compressive sensing[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2009， 57（9）： 3488–3497.

[14]CHEN C， TRAMEL E W， FOWLER J E. Compressed sensing recovery of images and Video using multihy-pothesis predictions[C]//Proc. of the 45th Asilomar Conference on Signals， Systems， and Computers， Pacific Grove， CA： IEEE， 2011：1193–1198.

[15]ZHANG J， ZHAO D， ZHAO C， et al. Image compressive sensing recovery via collaborative sparsity[J]. IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems， 2012， 2（3）： 380–391.

[16]GOLDSTEIN T ， OSHER S. The split Bregman algorithm for L1 regularized problems[J]. SIAM J. Imaging Sci.， 2009， 2（2）：323–343.

[17]CAI J， OSHER S， SHEN Z. Split Bregman methods and frame based image restoration[J]. Multiscale Model. Simul.， 2010， 8（2）： 337–369.

[18]HUANG J， ZHANG S， LI H， et al. Composite splitting algorithms for convex optimization[J]. Computer Vision and Image Understanding， 2011， 115（12）：1610–1622.