运用数形结合提升学生思维能力

伍丽霞

重庆市谢家湾小学教师，重庆市数学特级教师、数学骨干教师、九龙坡区数学学科带头人。多次在市区级数学赛课中获奖；撰写的多篇论文分别获得国家、市、区级奖励，并在各级杂志发表；参与编写《小梅花系列丛书―五年级数学乐园》教材（教育科学出版社出版），《小学升初中数学压轴题全解题库》（吉林教育出版社出版）等各类教学辅导书籍。

一、数形结合可使复杂问题简单化

华罗庚先生曾说，“数缺形时少直观，形少数时难入微”。形象说明了数形结合的重要性，指出数学问题应从数形相联系入手。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助教”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。《义务教育数学课程标准》将培养学生用数学解决问题的能力作为重要目标。这给教师在小学数学教学中解决如何从具体事物中抽象出数学问题，如何从感性思维上升到理性思维提出了具体要求。而数形结合思想正是实现该类问题教学的有效例证之一。

长期以来，在教学中，数学知识是一条明线，受到数学教师的重视，数学思想方法是一条暗线，容易被教师忽视。在小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想设计教学，将非常有利于学生从不同侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。在教学三年级下册第8单元《连乘法解决问题》时发现，部分学生特别是年龄较小的学生理解数量关系还存在一定困难。为此，笔者经过思考研究，结合数学课堂趣味性与思辨性，运用数形结合思想，在生活图片和抽象数学问题中间设置了过渡数学几何图形（抽象图形），既减小了学生思维跨度，便于数学问题的进一步理解，又使学生感受到学习数学的乐趣。

二、数形结合思想的实践应用

片段一：

用连乘法解决问题是人教版义务教育实验课程三年级下册8单元内容，教材采用学生排队做操的图案作为引导新知识的开始。

如图1，由于图中没有给出更多的数学信息，呈现的三个方阵不完整，所以当教师问学生们从图中可以发现哪些数学信息以及能提出什么数学问题时，学生的回答千奇百怪，并且对方阵的数量产生了歧义。为什么会出现这些现象呢？设想只用两三分钟的主题切入却花费了将近十分钟时间，并且学生们出现争论，在这里纠缠不清。

片段二：

学生们终于弄清楚主题图的含义，提出合理的数学问题后，用三种方法解决了该问题。

方法一：10×8×3=240（人）

方法二：10×3×8=240（人）

方法三：10×（3×8）=240（人）

在理解三种方法的意思时，部分学生出现困难：方法二和方法三，先求的是什么？后求的是什么？看着抽象的数量，学生眉头紧锁，睁着茫然的眼睛看着黑板。

怎样才能让学生真正理解数量之间的关系呢？主题图出示的生活图片为什么不能解决学生的问题？

于是，笔者与同教研组的教师们进行了研究，改进，第二次又走进课堂。

首先，将教材中不完整的主题图修改，呈现了三个完整的方阵（见图2），并将文字信息（三个方阵，每个方阵的行列人数等信息）渗透于图中。这时孩子们发现，信息和收集信息的速度和准确率非常高，很快切入教师预设的主题。

其次，教学中教师把主题图换成了点子图（图3、图4）发给每个学生，学生可以根据自己的要求摆放每张点子图。通过点子图的摆放，学生化静为动，通过摆放点子图的位置，理解不同方法的含义。再通过对比寻找到三种方法的相同与不同，让学生们更深刻理解每种方法，提升了学生的思维。在学生的脸上，教师看到了喜悦的笑容。

三、数形结合对学生思维提升的表现

课堂结束，笔者的脑海里不断交互出现上课的情景。为什么即使是生活图片，学生理解数量关系还会出现困难？返回到班上问学生，方阵图片和点子图片谁更能让你理解这三种方法。学生纷纷表示点子图好理解一些，缘由是点子图通过不同的摆放更能让人感受到数量之间的关系。诚然，根据三年级学生的年龄特点和思维特点，生活图片到抽象数学问题的跨度太大，学生兴趣和思辨能力跨越该跨度存在不同程度困难。借助几何图形，以形助教，使抽象问题直观化，有利于学生的思维提升。

1.引入图形辅助教学，将数学学习融入生活

在数学教学中，无论是数与代数、图形与几何，还是统计与概率等知识，处处蕴含着数形结合思想。教材借助几何图形的直观来帮助学生理解抽象概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化，学生在学习时，不再感到枯燥乏味，反而能从中获得有趣的情感体验，从而实现了主动探索，把握了概念本质。

2.抽象图形辅助教学，使数学学习高于生活

本课中，学生借助点子图，数形结合，化解了数学信息之间的不易理解的困难，通过点子图的拼摆，让抽象的思维形象地呈现，隐藏的数量关系通过“形”的表象显露出来。学生理解了三种方法之间的区别与联系，加深了对每种方法思路的理解，体会到了数形结合思想在解决问题中的作用。用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

3.凝练图形辅助教学，形成问题解决教学模式

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界量的关系与空间形式的科学。”在教学中，可以根据不同教学内容充分利用数形结合思想，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

（1）“以形助数”在直观中理解数

在“数与代数”教学中，借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学本质，解决数学问题。

（2）“以数想形”帮助理解各种公式

在教学有关的数学公式时，如果只让学生死记公式，只会将知识学死。借助图形充分理解公式的含义，可以使学生知其然，更知其所以然。

（3）“数形结合”借助表象发展空间观念

儿童的认知规律一般来说是从直接感知到表象，再到形成概念的过程。表象介于感知和形成概念之间，抓住中间环节，促使学生多角度灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，具有十分重要的意义。

总之，通过引入生活实例，利用数形结合，合理设置数形跨度，既可提高学生学习数学的兴趣，也让学生在不断的训练中感悟数学思想，丰富思维活动，以提高学生的数学学习能力，又可以完成数学教学中趣味性与思辨性的实践探索。