“基本图形”的分解\构造\变换在中考题中的应用

摘 要： 本文主要通过对近年来几道典型的中考题的详细剖析，分别介绍了基本图形的分解、构造、变换的应用方法，目的在于让学生学会在解题中应用上述方法提高学生的观察，分析题意，重新构造组合熟悉的基本图形进行计算和推理的能力。

关键词： 基本图形 分解 构造 变换 中考题

直线形、圆形是初中平面几何的一个主要内容，它们的定义、公理、定理和图形，是进一步研究直线形、圆形和其他几何图形性质的基础，因此，我们把这些几何图形叫做“基本图形”。在学习直线形性质时，已初步培养了逻辑推理能力。一个几何命题，由条件（A）和结论（B）两部分构成。证明一个几何命题，是从条件A出发，应用基本图形的性质，推导出一连串过渡结论，从而在此基础上推出结论B，其基本形式为ACDE…B，这里的过渡结论C、D、E、…，都是由一些基本图形的性质得出的几何命题。因此，应用基本图形进行命题转化的能力，表现出逻辑推理的水平，从而说明要提高逻辑推理能力。特别是近几年来，中考几何题突出考查基本图形和基本元素间的相互关系，考查学生对图形的分解、组合、变形的能力，需要学生观察，分析题意，重新构造组合熟悉的基本图形进行计算和推理等。因此教师在平时的教学中应该让学生熟练地掌握一些基本图形及其应用的方法。

从一般的经验来看，有一些重要的例题、习题中常见的图形，它们虽不是课本中定义、公理、定理的图形，而是由基本图形变形得到的，但由于它们在解题中用得较多，亦是研究比较复杂几何问题的基础，这些图形也被当做基本图形而应用。

例如下面是关于梯形的两个基本图形：

图1中将一腰AD平移到BE构成BCE，它含有梯形的两腰，两底角、两底之差。图2中将一对角线AC平移到BF构成BDF，它含有梯形的两条对角线、两对角线和一底的夹角、两底之和。这两个基本图形由于将梯形的主要元素集中于三角形之中，加强了元素间的联系，开拓了解题思路，因而应用颇多。像这样的基本图形，也是我们要熟练掌握的。在明确了基本图形的重要作用之后，对于基本图形的应用，从数学方法考虑，概括为分解、构造、变换三个方面，现逐一加以介绍。

一、分解

有时一个平面几何图形，它的线条纵横交错，局部图形重叠遮盖，基本图形如草里藏珠，令人视而不见，思路阻塞。这时，应根据解题的需要，将复杂的图形进行剖析，并分解出有用的基本图形，或应用它们的性质，或应用它们的联系，以便找到正确的解题途径。由于几何学是研究几何图形性质的学科，因此培养认识几何图形，善于把有用的基本图形分解出来的能力，是一项首要任务。

平面几何证题的基本思路，通俗地讲，一是“从已知看可知到未知（求证）”，二是“从未知想需知到已知”。那么如何看可知?告诉我们应从条件图中看有用的基本图形；又如何想需知?就是从条件图中找需要的基本图形。这里的会看、会找，就是会分解的意识。

二、构造

研究几何题，经常需要给图形添设辅助线，添设辅助线的实质在于构造基本图形，以便将复杂的问题化简，将隐蔽的关系明朗化，将分散的元素相对集中，从而找到一种解题途径。同时，设计基本图形的构造，有时还需配合使用联想、代换、转化等数学思想方法。

例：（2006宿迁市中考题）如图，在?荀ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．

（1）试说明：AEBF；

（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明.

分析：

（1）如图4，延长BC、AE相交于点P，构造基本图形等腰三角形ABE，利用三线合一性质可证APBF；

（2）如图5，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，由两个基本图形ODF∽OAB，PCE∽PBA得比，可知线段DF与CE是相等关系.

说明：解题时在一些问题所对应的图形中，常常缺少基本图形的某一部分，为了利用它的性质，我们应根据问题的需要构造出基本图形。例如例题中通过延长BC、AE构造了基本图形ODF∽OAB，从而问题得以证明。

三、变换

这里所说的变换，是几何变换的简称。平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。应用几何变换解题时，主要是通过运动有关的几何图形，改变它们的位置，或将条件与结论相对集中，使它们的联系明朗化，或在改变图形的位置后，使条件与结论之间出现新的联系，从而易于找到一种解题方法。

例：（2005无锡市中考题）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

（1）将PAB绕点B顺时针旋转90°到P′CB的位置（如图6）；①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求PAB旋转到P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

.

②连接PP′，证PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6.

（2）利用旋转变换将PAB绕点B顺时针旋转90°到P′CB的位置，由勾股逆定理可证∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上.

说明：熟练掌握基本图形，掌握住变换的条件、变换的性质，把几何命题中分散的缺乏逻辑性的几何元素通过变换加以有效集中，就能提高应用几何变换法解题的能力。

以上介绍了基本图形的分解、构造与变换，这是应用基本图形的研究直线形、圆形性质的几种基本方法。从智力训练的角度来看，它们是重要的创造性思维活动，有利于培养灵活、独创性等思维品质。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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