基于最小叉熵计算VaR的模型

[摘要] 本文借助信息理论中的相对熵的概念和意义，应用最小相对熵原理给出一种新的计算var的非参数方法。

[关键词] 在险价值（VaR） 最小相对熵原理

一、引言

目前，金融资产市场风险（也包括信用风险和操作风险）的通用度量工具为Value at Risk（VaR，一般被称为“风险价值”或“在险价值”），早在1994年由JP Morgan公司提出,在几个巴塞尔协议形成后，用VaR作为金融风险度量的一种有力工具，受到普遍关注，尽管VaR在概念上有缺点（不具有次可加性），但是目前仍是业界应用最广泛，影响最大的一种风险度量方法。

影响VaR计算的主要因素是：样本容量、置信水平，以及风险变量的分布函数。前两者受主观因素的影响，因人而异，所以VaR方法的核心在于描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数。本文将从历史数据入手，介绍一种应用最小相对熵估计未知分布求VaR的方法。

二、准备知识

定义1：风险价值指: 在正常市场条件下和一定的置信水平a上，测算出风险变量X在给定的时间段内预期发生的最坏情况的损失大小。这里风险变量X 除了表示市场风险外，还可以表示：(1)金融资产或金融组合的收益－损失或利润；(2)较高或较低的频率收益；(3)操作损失；(4)重大灾难的保险索赔；(5）信任损失等。

风险价值（VaR）模型在数学上的严格定义如下：设X 是描述证券组合损失的随机变量，F(x)是其概率分布函数，置信水平为a，则：。

例如,某一投资公司持有的证券组合在未来一天内,置信度为95%,证券市场正常波动的情况下,VaR值为200万元。其含义是指,该公司的证券组合在一天内,由于市场价格变化而带来的最大损失超过200万元的概率为5%,平均20个交易日才可能出现一次这种情况。或者说有95%的把握判断该投资公司在下一个交易日内的损失在800万元以内5%的几率反映了金融资产管理者的风险厌恶程度可根据不同的投资者对风险的偏好程度和承受能力来确定。

定义2：设离散随机变量X的概率分布律为:,,随机变量X的熵为:,P是一个列向量。其连续形式也是人们一般称的微分熵（differetial entropy）:

,其中f(x)是概率密度函数。

定义3：叉熵（Cross entropy，也叫 Kullback-Leibler散度或相对熵（Relative entropy））：指随机变量X的叉熵为:，其中为待求的概率分布，而为先验概率分布(故有且)。

倘若我们希望所选的概率分布，除满足原有的约束条件外，还应尽量靠近一个先验概率分布，则需要依据最小叉熵原理来解决。最小叉熵原理可表达为下述数学规划问题：

（1）

其中为待求的概率分布,是优化问题的变量;而为先验概率分布(故有且)，在优化过程中仅作为参数对待。

最小化函数，起到使这种偏离尽可能小的作用。因此，根据最小叉熵原理所求得的概率分布，是在服从已知信息(矩约束)下的最接近先验分布的一组概率分布。1980年Shore 和Johnson证明了在矩约束下的最小相对熵可以惟一地确定一个严格的、不变的、一致的密度函数，说明最小相对熵原理，是在服从已知信息条件下，找最接近先验分布的一组概率分布，这使得这种方法被广泛应用于各个领域，几乎在所有的学术刊物上都可看到熵的名字。

下面计算一下最小叉熵优化问题(1)的解，构造问题(1)的拉格朗日函数：

(2)

因这个问题是一个变量可分离的凸规划，它的全局最优解可由驻值条件和概率归一化条件得:（3）

三、模型的建立

设X是一个随机风险变量，它的未知累积分布函数为F(X),，则，其中表示累计分布的逆函数。假设这里的是单调的、严格递增、绝对连续、非负的概率测度，相应的X的密度函数为f(x)，则传统的矩条件为:，其中。假设由已知数据已经估计出先验的VaR值，则应用最小叉熵原理有:

，其中是样本矩的值。

四、结论

本文考虑到影响VaR计算的三个因素，提出利用已知的信息，借助最小相对熵来估计密度函数再求VaR的方法。由于投资者主要考虑最大限度的损失是多少，所以对金融风险的关注主要是极端事件，但极端事件的数据比较少，难于采集，所以考虑应用最小叉熵原理，得到最接近客观实际的一种估计，尽量减少由于信息缺乏而导致的误差及计算偏差。

参考文献:

[1][美]菲利普-乔瑞:风险价值VAR（第二版）.中信出版社,2005-1-1

[2]Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Tech.J. 27,379 423, 623 656

[3]Kullback S. Information theory and statistics . NY:Wiley,1959

[4]Shore JE, Johnson RW. Axiomatic derivation of the principle of maximum entropy and the principle of minimum cross-entropy. IEEE Trans on Information Theory 1980;26(1):26 37