在空间向量与立体几何的学习中体验数学的应用

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”伟大的革命导师马克思也就数学的应用问题作过精辟的论述：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步。”诚如所言，数学的应用是非常广泛的，从日常生活到工业生产、商贸交易、天文地理、科学研究……数学的应用无处不在。下面，以空间向量与立体几何在社会热点和生产生活实际问题中的应用为例，作一些探讨，供同学们参考。

一、 帐篷设计

【背景材料】 四川日报2011年11月25日讯：蓝天白云下，秋天的川西北高原上，格外迷人。沿公路远远望去，一座座新型帐篷扎在牧民定居点旁边，像一簇簇花朵，盛开在草原上。走进一个个宽大、敞亮的帐篷，崭新的便携式直播卫星数字电视机，高低可调的折叠床等设备处处透着时代的气息，处处细节显示着牧民生产生活条件今非昔比。沧桑巨变从2008年起步，那年，为了改善藏区牧民群众生产生活条件，省委、省政府高瞻远瞩，提出在藏区实施牧民定居行动计划和帐篷新生活行动……

【命题分析】 为了改善藏区牧民群众生产生活条件，四川省委、省政府高瞻远瞩，提出在藏区实施牧民定居行动计划和帐篷新生活行动，让藏区牧民住进新帐篷，过上好生活。小帐篷，大科技，空间向量与立体几何等数学知识在帐篷的设计中大有可为，以此为背景设计可命制出令人赏心悦目的数学试题。

【试题设计】 要用一块边长为10米的正方形帆布，按图1将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形的帆布帐篷，如图2所示．试问；怎样裁才能使加工制成的帐篷的容积最大？最大容积是多少？

解析 这个问题的实质是一个折叠问题，关键是处理好折叠后所得的正四棱锥中的“高”与“斜高”的关系，以及折叠前后的不变量与不变关系．设制成的正四棱锥形帐篷的底面边长为2x米，易知其斜高为5米，故其高为25－x2，四棱锥的容积为：

V=13(2x)225－x2

=223x2•x2•(50－2x2)

≤2235033=1 000327（立方米），

当且仅当x2=50－2x2，即x=536（米）时取等号．

答：当余下的等腰三角形的底边长为1036米时，制成帐篷的容积最大，最大容积为1 000327立方米．

点拨 这是一道是帐蓬的设计为背景而的实际生活中的最优化问题，具有浓厚的生活气息，主要考查的立体几何中多面体与几何体的体积计算以及运用基本不等式求函数的最值等基础知识和基本方法，考查数学建模的意识和能力。根据题意建立起目标函数，然后再运用基本不等式求出最值，问题就迎刃而解了。本题中，求目标函数的最值，也可以运用导数的方法处理，读者不妨一试。

二、 食品包装

【背景材料】 中国设计网2011年3月25日消息: 为进一步推动中国包装创意产业的发展，为创意设计注入新的活力，中国包装联合会、世界包装组织亚洲包装中心和《包装世界》杂志社即日起举办高起点、高水准、国家级的设计大赛――2011年中国包装创意设计大赛。这是一项由业界、学界支持，立足于院校与专业设计机构，企业与院校相结合，共同促进创意设计产业发展的重大活动，也是国内包装创意设计领域继“2010年中国包装创意设计大奖赛”成功举办后的又一个重大赛事。

【命题分析】 高科技、高智能的生产设施，将不断推动包装工艺的发展，新的工艺流程、自动化、电脑一体化的应用会给食品包装提供更多、更新的设计构想。现代新型高超的印刷、制版技术给包装的各个环节提供了实现完美效果的保证，艺术与科学技术结合的更加紧密，彼此相互作用，相互制约。然而，这些都离不开数学知识、数学思想和数学方法的支撑。因此，包装设计的问题也会得到高考数学命题专家们的关注。

【试题设计】 有长、宽、高分别为88 mm、48 mm、22 mm的长方体礼品盒10个，将这10个长方体的礼品盒打成一包，要求盒与盒之间必须是以全等的面对接，打完的包是长方体形．问：怎样打包可使得所用的包装材料最少？

解析 要解决这个问题，就要依据规则先考虑共有多少种打包方式，其次要考虑各方式的包法表面积分别是多少，最后再通过比较的方法得出表面积最少的一种．

设长方体盒的三个面的面积分别为A、B、C(A

（1） 第一类：在1×1×10型中，三种打包方式的表面积分别为：

S1=2C+20B+20A，S2=20C+20B+2A，

S3=20C+2B+20A．

A

（2） 第一类：在1×2×5型中，六种打包方式的表面积分别为：

S4=10C+4B+20A，S5=10C+20B+4A，

S6=4C+10B+20A，S7=4C+20B+10A，

S8=20C+10B+4A，S9=20C+4B+10A．

由于S4～S9都是34个面的和，而又因为A

又S6－S1=(4C+10B+20A)－(2C+20B+20A)=2C－10B=2(48×88－5×22×88)

S6

点拨 本题以食品包装为背景，在立体几何与不等式等知识的交汇处设计，数学模型的建立是解题的关键。解决这一问题的主要意义在于对长方体型的盒子进行包装，如何按规则形状包装时能使其包装材料最省，属于工业设计中的最优化问题。此问题可以一般化，即当礼品盒有n个时，按本题提供的规则包装，按怎样的方式，能使包装材料最省？

三、 空间测量

【背景材料】 新华网北京2011年5月23日电：为了保护气象设施和气象探测环境，确保气象探测信息的代表性、准确性和连续性，中国气象局组织起草了《气象探测环境和设施保护条例（送审稿）》，报请国务院审议。国务院法制办在听取有关部门、地方人民政府意见的基础上，经与中国气象局研究、修改，形成了征求意见稿，公开征求社会各界意见。

【命题分析】 气候、环境的变化，自然灾害频发，对人民的生命和财产安全造成了极大的威胁，做好气象探测预报工作，保障人民的生命财产，最大限度地减轻自然灾害对人类的危害，显得愈来愈重要，成为广受关注的社会热点。这里，也蕴含着丰富的数学问题，围绕这样的问题，命制高考数学试题，应当引起我们的高度重视。

【试题设计】 一个气象探测气球以每分钟14米的垂直分速度由地面上升，10分钟后由观察点D测得气球在D正东，仰角为45°；又10分钟后测得气球在D的北偏东60°，仰角为60°．若气球是作直线运动，试求风向和风速．

解析 以水平放置的平面α为地面，根据题意画出空间图形如下图所示，10分钟后气球位置为A，又10分钟后气球位置为B，A、B在平面α上的射影分别为A1、B1，且AA1=14×10=140（米），BB1=14×20=280（米），∠A1DB1=30°，∠A1DA=45°，∠B1DB=60°．

于是A1D=A1A=140（米），

B1D=B1Btan60°=2803（米），

在A1DB1中，由余弦定理，得

A1B21 =A1D2+B1D2-2A1D • B1Dcos∠A1DB1

=1402+28023－2•140•2803•32=14023，

从而有A1B1=1403（米）．

所以，风速为A1B110=143=1433（米/分）；

又由B1D2=A1D2+A1B21，知风向为正北方向．

点拨 空间中的测量问题是立体几何中有关线面的位置关系以及角和距离在实际生活中的反映。解决这一类问题的基本思路是空间问题平面化，化归为解三角形，因此，正弦定理、余弦定理和三角函数是常用的工具。求解本题，也可以运用空间向量的方法，读者不妨一试。

牛刀小试

1． 用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓（使木板垂直于地面、两边与墙面贴紧）．试问：怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值．

2． 现需设计一个正四棱柱体的冰箱，它有一个冷冻室和一冷藏室，冷冻室由三个抽屉组成，以防止食物相互串味．问：怎样设计冰箱的外观尺寸以及冷冻室与冷藏室的比，才能使用料最省？

2． 某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的球形糖果的外层包装进行设计．设计时要求同时满足以下条件：

（1） 外包装要呈一封闭的圆锥形状；

（2） 为了减少包装成本，要求所用材料最省；

（3） 为了携带方便，包装后每个糖果的体积最小．

试问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由．

【参考答案】

1． 如图，分两种情况讨论：

(1) 若使长边紧贴地面，则AB=CD=a，AD=BC=b，从而有a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα)．

x=y时取等号．此时，储物仓的容积

V1=12xysinαb≤a2bsinα4(1－cosα)=14a2btanα2．

(2) 若使短边紧贴地面，则同理可得：xy≤b22(1－cosα)，当且仅当x=y时取等号．

此时，储物仓的容积

V2=12xysinαa≤14b2atanα2．

a>b>0,tanα2>0，V1>V2． 故当长边紧贴地面，且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，容积最大，这个最大容积为14a2btanα2．

2． 假设这些条件都能达到，设球形糖果为球O，则球O必内切于圆锥侧面与底面，轴截面如图所示．

于是有PA=PB，且球心O为PAB的内心，连接PO并延长交AB于C，则PCAB，C为AB与O相切时的切点，OC=1．

设∠OAC=θ(0

S圆锥全=πRl+πR2=2πtan2θ•(1－tan2θ)，V圆锥=13πR2h=2π3tan2θ•(1－tan2θ)，其中0

当且仅当tan2θ=1－tan2θ，即tanθ=22时，圆锥的全面积与体积均能取得最小值．

此时R=2,h=4，即按底面半径为2，高为4设计时，题设条件能同时满足，且圆锥全面积的最小值为8π，体积的最小值为8π3．

（作者：钱军先，无锡市辅仁高级中学，教授级高级教师）