从一道数学高考题谈结论的推广

考题 （2012江苏・19） 如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（i）若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；

（ii）求证：PF1+PF2是定值.

本文将该题第3问的结论推广到一般的椭圆和双曲线.

命题一 如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.则PF1+PF2是定值2a-b2a2.

证明 延长线段AF1交椭圆于点D.

设直线AD的方程为：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t为参数，α为直线的倾斜角）.

将直线方程代入椭圆方程并整理得： （b2cos2α+a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

设方程两根为t1，t2.

则t1+t2=2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α ，t1t2=b2c2-a2b2b2cos2α+a2sin2α=-b4b2cos2α+a2sin2α.

AF1・DF1AF1+DF1=|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|-b4b2cos2α+a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α）2+4b4b2cosα+a2sin2α

=

b22c2cos2α+b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因为直线AF1与BF2平行，所以

PF1PB=AF1BF2.由B点在椭圆上知PB+PF1+PF2=2a，从而PF12a-PF1-PF2=PF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）=2a-2AF1・BF2AF1+BF2.

由直线AD与BF2平行和椭圆的对称性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1・DF1AF1+DF1=2a-b2a.

命题二 如图3，在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设A，B是双曲线上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P，则PF1+PF2是定值2a+b2a.

证明 延长线段AF1交双曲线于点D.

设直线AD方程为：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t为参数，α为直线的倾斜角）.

将直线方程代入双曲线方程并整理得：

（b2cos2α-a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

设方程两根为t1，t2.

则t1+t2=2cb2cosαb2cosα-a2sin2α，t1t2=

b2c2-a2b2b2cos2α-a2sin2α=b4b2cos2α-a2sin2α.

AF1・DF1AF1+DF1=

|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|b4b2cos2α-a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α-a2sin2α）2-4b4b2cosα-a2sin2α

=

b22c2cos2α-b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因为直线AF1与BF2平行，所以PF1PB=AF1BF2.由B点在双曲线上知PB+PF1-BF2=2a，从而

PF12a-PF1+BF2=AF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a+BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a+AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a+BF2）+BF2AF1+BF2（2a+AF1）=2a+2AF1・BF2AF1+BF2.

由直线AD与BF2平行和椭圆的对称性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1・DF1AF1+DF1=2a+b2a.