运用推理 减少运算

借助图形或图象进行推理

许多数学概念都是从数和形两方面描述的.为了减少运算，在审题和解答时，应具备借助图形图象工具进行分析和推理的意识.

在解题中，我们经常需借助的图形图象工具有：韦恩图、数轴图――用于解决集合、不等式解集等问题；基本函数的图象――用于分析解决函数、导数及数列等问题；几何性质、几何意义――常用于解决向量、解析几何问题；正方体、长方体及特殊几何体――用于研究立体几何空间点线面的关系；树形图、表格――通过枚举法研究和分析问题，等等.

点评： 解法一按部就班，先通过分类讨论去绝对值符号，再分析函数的单调性，得到了f（x）的零点数.解法二作出了h（x）=log0.5x与g（x）=0.5x的图象，根据基本函数图象的交点来推理求解.不难发现，根据题目所给的函数直接求解，无论是从运算量还是解题难度来说，都不如借助图象工具进行推理求解来得简便.

根据数值特点进行推理

有些题目的数值是命题人精心安排的，解题时如果能根据数值特点进行推理，不仅有助于把握题目细节，减少干扰，更能深入问题核心，四两拨千斤.

比如，在函数问题中判断点是否在函数图象上；在导数问题中判断函数的零点，判断给定区间边界点是否为导函数的零点；在解析几何问题中判断给定点是否为曲线上的点、是否与曲线基本量有关等.

点评： 解法一和解法二都使用了数形结合法.解法一按常规思路将所求函数具体化，转化为分段函数的最值问题，再根据二次函数f（x），g（x）的图象性质求得结果.解法二结合题意，根据数值的特殊性进行推理验证，发现两函数的顶点恰好与两函数的交点重合，由此找到突破口，在同一坐标系中相对准确地作出了f（x），g（x）的图象，并判断出了A，B的具置，大大减少了运算量，避免了分类讨论的困难.

观察形式进行推理

形式化的表达是数学的基本特征，在解题中关注数学形式，体会其中蕴含的数学本质，往往对解题大有裨益.

解析几何问题经常需要我们观察方程的形式和结构特点，对是否是同一直线方程、是否为同一个一元二次方程的解、是否为同一曲线方程、是否能视为同一函数的表达式等作出判断.

例3 [2013年高考数学广东卷（文科）第20题第（2）问] 已知抛物线C：x2=4y，设P为直线l：x-y-2=0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

类比①式和②式，可知A（m1，n1），B（m2，n2）均满足方程y0=x0-y.因为P（x0，y0）为定点，且经过A，B两点的直线唯一，所以直线AB的方程为y0=x0-y，即x0x-2y-2y0=0.

点评： 例3含参过多，直接求解麻烦重重.观察可知y0=x0-n1和y0=x0-n2满足同一方程y0=x0-y，由此可得目标方程.

寻觅题目“疏漏”进行推理

有些选择题和填空题在选项设置或者取值上会留下一些“疏漏”，这能让我们避开繁杂运算，巧妙求解.

在解题中应留意这类“疏漏”，如选择题选项的对立与统一、问题中动点的特殊位置、变量取特殊值与边界值导致的结果等.对于这些“疏漏”，可尝试采用特值法或极限思想解决问题.

例4 [2011年高考数学天津卷（理科）第14题] 已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则 [PA]+3 [PB]的最小值为 .

解法一（坐标法）： 如图6所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴建立直角坐标系.由题意设A（2，0），再设C（0，c），P（0，y），则B（1，c）.所以 [PA]=（2，-y）， 点评： 例4的解法一用了坐标法，虽然思路清晰，但计算相对复杂.考虑到题目的“疏漏”――未给出梯形的腰长定值，其长度具有任意性，而根据推理可知PB>BC，PA>DA，故可使用极限法，将梯形上下两底“合二为一”，直接得出结果.例4直观地体现了运用推理对减少运算量的重要作用.